14、圈代数与维拉索罗代数的表示研究

圈代数与维拉索罗代数的表示研究

1. 维拉索罗代数的基础与中央电荷

维拉索罗代数在数学和物理领域都有着重要的地位。我们从一个例子开始，考虑 (g_1 = g_2 = su(2))，这是由所有 (2\times2) 无迹反厄米矩阵组成的李代数，对应于行列式为 1 的 (2\times2) 酉矩阵群 (Su(2))，其维数为 3。设 (\mathfrak{I}) 是 (g = g_1 \oplus g_2) 的子代数，由对角元素组成，即 ((x, y) \in \mathfrak{I}) 当且仅当 (x = y)。

设 (\tilde{\mathfrak{g}}_1) 和 (\tilde{\mathfrak{g}}_2) 分别是具有中央电荷 (c_1) 和 (c_2) 的中心扩张。那么上述定理中由 (L_i) 张成的代数的中央电荷 (C) 为：
[C = \frac{3c_1}{2 + c_1} + \frac{3c_2}{2 + c_2} + \frac{3(c_1 + c_2)}{2 + (c_1 + c_2)}]
若选择 (c_1 = k \in {0, 1, 2, \cdots}) 且 (c_2 = 1)，则 (C = 1 - \frac{(k + 2)(k + 3)}{(k + 3)(k + 4)})，其中 (k \in \mathbb{N} \cup {0})。由此我们构造出了一系列维拉索罗代数的表示，其中央电荷 (c_k) 形成一个离散序列，满足 (0 \leq c_k < 1)。

实际上，维拉索罗代数 (Vir) 在最高权表示 (V(h, c)) 中的不可约表示是酉表示，当且仅当 (c) 为上述形式且 (h) 为：
[h^{(r,s