12、拉普拉斯变换、Eynard–Orantin递归与代数刚性相关研究

拉普拉斯变换、Eynard–Orantin递归与代数刚性相关研究

1. 广义卡特兰数的拉普拉斯变换

我们先计算广义卡特兰数的拉普拉斯变换。定义离散拉普拉斯变换为：
[
F_C^{g,n}(t_1, \ldots, t_n) = \sum_{(\mu_1,\ldots,\mu_n)\in\mathbb{Z}^n_+} D_{g,n}(\mu_1, \ldots, \mu_n) e^{-\langle w,\mu\rangle}
]
其中，((g, n)) 满足 (2g - 2 + n > 0)，拉普拉斯对偶坐标 (w = (w_1, \ldots, w_n)) 与函数坐标 (t = (t_1, \ldots, t_n)) 的关系为：
[
e^{w_i} = x_i = z_i + \frac{1}{z_i} = t_i + \frac{1}{t_i - 1} + \frac{t_i - 1}{t_i + 1}, \quad i = 1, 2, \ldots, n
]
且 (\langle w, \mu\rangle = w_1\mu_1 + \cdots + w_n\mu_n)。

类型为 ((g, n)) 的 Eynard–Orantin 微分形式定义如下：
[
W_C^{g,n}(t_1, \ldots, t_n) = d_1 \cdots d_n F_C^{g,n}(t_1, \ldots, t_n) = (-1)^n \sum_{(\mu_1,\ldots,\mu_n)\in\mathbb{Z}^n_+} C_{g,n}(\mu_1, \ldots, \mu_n) e^{-\langle w