15、维拉索罗代数的表示研究

维拉索罗代数的表示研究

1. 中心荷(c = \frac{1}{2})时维拉索罗代数的表示

首先，我们聚焦于中心荷(c = \frac{1}{2})的维拉索罗代数(Vir)的表示情况。在这个研究中，我们会分别探讨(m)为偶数和奇数的情形。

当(m)为偶数时，通过归纳法可以得到：
(\sum_{j = 1}^{\frac{m}{2}}j^{2}=\frac{m^{3}-3m^{2}+2m}{24})
进而得出(\left\lVert L_{-m}\Omega\right\rVert^{2}=\frac{m^{3}+2m}{24})，所以(c_{m}(0)=\left\lVert L_{-m}\Omega\right\rVert^{2}=\frac{m^{3}-m}{24})。

当(m)为奇数时，同样利用归纳法，有(\sum_{j = 1}^{\frac{m - 1}{2}}(2j - 1)^{2}=\frac{m^{3}-3m^{2}+2m}{6})，由此可得(\left\lVert L_{-m}\Omega\right\rVert^{2}=\frac{m^{3}+2m}{24})，即(c_{m}(0)=\frac{m^{3}-m}{24})。

可以发现，(c_{m}(0))的最终公式与(m)的奇偶性无关。在Ramond 部分（(q = 0)），对于所有(m\in N)，进而对于所有(m\in Z)（因为(c_{0}(0)=0)且(c_{-m}(0)= - c_{m}(0))），都有(c_{m}(0)=\frac{m^{3}-m}{24})。

接下来看Neveu - Schwarz 部分（(q=\frac{1}{2})），