13、圈代数与维拉索罗代数详解

圈代数与维拉索罗代数详解

1. 引言

在物理学的多个领域，如场论、弦理论和统计物理学中，维拉索罗代数都有着重要的应用。本文将深入探讨维拉索罗代数的相关概念、构造及其表示，同时分析其在物理中的应用背景和限制条件。

2. 向量场与李代数

• 实向量场 ：设 $Vect(S^1)$ 为圆 $S^1$ 上所有光滑实向量场的集合。在局部坐标下，$X \in Vect(S^1)$ 可表示为 $X(\theta) = f(\theta)\frac{d}{d\theta}$，其中 $f$ 是 $S^1$ 上周期为 $2\pi$ 的光滑实值函数。$Vect(S^1)$ 通过逐点加法和标量乘法构成向量空间。
• 李括号 ：李括号（也称为换位子）定义为 $[f(\theta)\frac{d}{d\theta}, h(\theta)\frac{d}{d\theta}] = (f(\theta)h’(\theta) - f’(\theta)h(\theta))\frac{d}{d\theta}$，其中 $f’(\theta) = \frac{df(\theta)}{d\theta}$，$h’(\theta) = \frac{dh(\theta)}{d\theta}$。这使得 $Vect(S^1)$ 成为一个李代数。
• 基的选取 ：$S^1$ 上的光滑函数总是平方可积的，其一组基可以取为 ${1, \cos n\theta, \sin n\theta}, n \in N$。因此，$Vect(S^1)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的一组