12、循环代数与维拉索罗代数：理论与应用

循环代数与维拉索罗代数：理论与应用

1. 循环代数基础

1.1 子代数分解

循环代数的研究中，我们将其分解为子代数$\mathfrak{g} +$、$\mathfrak{g} -$和$\mathfrak{h}$。其中，$\mathfrak{g} +$由正根张成，$\mathfrak{g} -$由负根张成，具体表示为：
- $\mathfrak{g} + = {x {\alpha}(n) | \alpha \in \Delta, n \in \mathbb{N}} \cup {x_{\alpha} \otimes 1 | \alpha \in \Delta^+}$
- $\mathfrak{g} - = -\mathfrak{g} +$

这种分解对应着对扩展仿射卡茨 - 穆迪代数中正负根的重新定义。

1.2 Verma 模的定义

设$\lambda \in \mathfrak{h}^*$是$\mathfrak{h}$上的任意线性形式，我们按照有限维情形定义 Verma 模$V_{\lambda}$：
$V_{\lambda} = U(\mathfrak{g}) / I_{\lambda}$
其中，$U(\mathfrak{g})$是$\mathfrak{g}$的泛包络代数，$I_{\lambda}$是由$\mathfrak{g}_+$和元素$h - \lambda(h)$（$h \in \mathfrak{h}$）生成的左理想。

1.3 Verma 模的性质

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