19、循环群与微分同胚群的表示研究

循环群与微分同胚群的表示研究

1. 循环群 (LS^1) 的表示

在对循环群 (LS^1) 的研究中，我们首先关注到 (U_p (e^{if_0})) 是酉算子，并且满足 (U_p(e^{iF_0})\alpha_p(h)U_p(e^{iF_0})^{-1} = \alpha_p(e^{if_0}h))。接下来，我们要计算与之相关的上循环的显式公式。

对于任意的 (n \in \mathbb{N} \cup {0})，有 (QS^n = S^n(Q + n\cdot I)) 和 (Q^kS^n = S^n(Q + n\cdot I)^k) 在定义域 (\mathcal{D}) 上成立。由于 (\mathcal{D}) 是 (Q) 的解析向量集，且在 (S) 作用下不变，所以对于任意的 (n \in \mathbb{Z}) 和 (A \in \mathbb{C})，有 (e^{AQ S^n} = S^n e^{A(Q + n\cdot I)}) 在 (\mathcal{D}) 上成立。

通过一系列的推导，我们得到：
[
e^{\frac{i}{2}f_0Q}S^nF e^{\frac{i}{2}f_0Q}e^{\frac{i}{2}g_0Q}S^nG e^{\frac{i}{2}g_0Q} = e^{\frac{i}{2}(f_0nG - g_0nF)}e^{i(f_0 + g_0)Q}S^{nF + nG}e^{\frac{i}{2}(f_0 + g_0)Q} = C (e^{iF_0}, e^{iG_0}) \cdot U_p (e^{i(F_0 + G_0)})
]
由此可见，上循环的表达式也得以确定。这样，我们就构造出了阿贝尔电荷群