AcWing 97.约数之和

假设现在有两个自然数 A 和 B，S是 AB的所有约数之和。

请你求出 Smod9901的值是多少。

输入格式

在一行中输入用空格隔开的两个整数 A和 B。

输出格式

输出一个整数，代表 Smod9901的值。

数据范围

0≤A,B≤5×107

输入样例：

2 3

输出样例：

15

注意: A 和 B 不会同时为 0。

在这到题之前，我们先插入一些知识

1.约数的个数的算法

假设一个x，x=p^k*p1^k1*...... *pn^kn;x是由k个p ，k1个p1.....kn个pn相乘得到的

那么   1个p是x的约数，0个p也是，同时  随机个p 和 随机个p1或者p2..或者pn，也是x的约数

于是，我们，一共由 k个p1,k1个p1,...kn个pn,我们一共有（k+1）*(k1+1)*(kn+1)中选法，每种选法就是一个约数，举个例子

12=2^2 *3    那么  有2个2  ，1个3    我们就有  （2+1）*（1+1）=6个约数

2^0，3^0 是1

1个2    3^0  是2   ,一次类推，我们可以把每种约数全部写出来

最终 一个数x=x=p^k*p1^k1*...... *pn^kn;   那么约数的个数（k+1）*(k1+1)*(kn+1)

2. 约数的和 

依旧假设一个数x=x=p^k*p1^k1*...... *pn^kn;那么约数的和为(p^0+p^1+p^2+....+p^k)*(p1^0+p1^1+p1^2+....+p1^k1)*...*(pn^0+pn^1+pn^2+....+pn^kn)， 为什么？

这个式子是不是等于（）+（）+（）+....（）这种形式 (孩子们基础乘法，我就不写了哈)

每个（）都是从上面的只含p挑出来一个和只含p1挑出来一个和.....只含选出来一个，它们乘起来就是一个约数，那么（）+（）+（）+....（）就是所有约数相加

sum(p,k)=p^0+p^1+...p^k

分成一半（考虑奇偶，先奇）   
 =p^0+p^1+...+p^[k/2]+p^[k/2+1]+....p^k
因为k是奇数，我们还带上了0次方，所以总个数为偶数,那么我可以分半
 =(p^0+p^1+...+p^[k/2])+p^[k/2+1](p^0+p^1+...+p^[k/2])
假设k是7，7/2=3    p^[k/2+1]*p^[k/2]=p[k];
 =(1+p^[k/2+1])(p^0+p^1+...+p^[k/2])
后面就是sum(p,k/2+1)

如果k是偶数
我可先把最后一个算了,再在前面分半

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int mod=9901;

int qmi(int a,int k)
{
    a=a%mod;
    int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        k>>=1;
    }
    return res;
}

int sum(int p,int k)
{
    if(k==0) return 1;
    if(k%2==0) return (p%mod*sum(p,k-1)+1)%mod;
    return (1+qmi(p,k/2+1))*sum(p,k/2)%mod;
}

int main()
{
    int A,B;
    cin>>A>>B;
    int res=1;
    for(int i=2;i<=A;i++)
    {
        int s=0;
        while(A%i==0)
        {
            s++;
            A/=i;
        }
        if(s) res=res*sum(i,s*B)%mod;     //s*B 和(A)的B次方，那么对应的约数次方是相加的
        //16^2   =(2^4)^2  2^(4*2)
    }
    if(!A) res=0;
    cout<<res<<endl;
}