38、图论中的平面双连通增强与平凡完美宽度研究

图论中的平面双连通增强与平凡完美宽度研究

在图论的研究领域中，平面双连通增强（Planar Biconnectivity Augmentation）以及平凡完美宽度（Trivially - Perfect Width）是两个重要的研究方向。下面将为大家详细介绍这两方面的研究内容。

平面双连通增强

平面双连通增强问题在图论中有着重要的地位。当考虑具有固定嵌入的平面双连通增强问题（PBA - Fix）时，其复杂度状态与输入图的连通性密切相关。
- 算法最优性 ：对于连通的平面图 (G=(V, E)) 和其组合嵌入 (\Pi)，PlanarAugmentationFix 算法能够为 (G) 和 (\Pi) 计算出 PBA - Fix 的最优解。该算法通过对每个面诱导子图的处理，证明了总是能达到 (max{d - 1, \lfloor\frac{p}{2}\rfloor}) 条边的下界。
- 运行时间和空间分析
- 边数线性关系 ：在平面图中，边的数量总是与节点数量呈线性关系。算法分别考虑 (\Pi) 的每个面，并构建相应的面诱导子图。由于 (G) 的每条边最多属于两个面，所有面诱导子图中的总边数为 (O(|V|))。
- BC - 树计算 ：对于面 (f) 诱导的子图 (G_f=(V_f, E_f))，其 BC - 树可以在 (O(|V_f| + |E_f|)) 时间内通过查找双连通分量来计算，并且需要 (O(|V_f|)) 的空间。
- BC - 树更新 ：使用 We