35、最小链接 C 定向路径与分组支配集问题研究

最小链接 C 定向路径与分组支配集问题研究

1. 最小链接 C 定向路径算法

在平面几何计算中，对于最小链接 C 定向路径问题有了重要的算法成果。给定平面上 n 个不相交的 C 定向线段集合 E，以及不属于 E 中任何线段的点 s 和 t，存在一种算法可以计算 E 的最小链接 C 定向路径。该算法的整体运行时间为 $O(|C|^2·n^2)$。
例如，当 $|C| = 4$ 时，如轴平行路径和线段的情况，分析表明每个线段上的区间数量有一个常数上界，这使得整体时间复杂度降为 $O(n)$。

这个算法的核心在于对线段集合的分析和处理，通过对不同情况的分类讨论，逐步确定最小链接的路径。其具体步骤可以简化为以下流程：

graph TD;
    A[输入线段集合 E、点 s 和 t] --> B[分析 C 的情况];
    B -- |C| 为一般情况 --> C[计算整体运行时间 O(|C|^2·n^2)];
    B -- |C| = 4 --> D[计算整体运行时间 O(n)];
    C --> E[输出最小链接 C 定向路径];
    D --> E;

2. 分组支配集问题概述

在图论领域，分组支配集问题是一个重要的研究方向。给定一个无向图 $G = (V, E)$，一个顶点集 $S ⊆ V$ 被称为支配集，如果 $V$ 中的每个顶点要么在 $S$ 中，要么与 $S$ 中的一个顶点相邻。而 r - 分组支配集是支配集的一种扩展概念。

一个支配集 $S$ 被称为 r - 分组支配集，如果