59、图的生成树拥塞问题研究

图的生成树拥塞问题研究

1. 图的基本概念与生成树拥塞

1.1 图的基本定义

在图论中，有许多重要的基本概念。设 (G) 是一个图，对于 (S\subseteq V(G))，我们用 (N_G(S)) 表示 (\bigcup_{v\in S}N_G(v))，顶点 (v) 在图 (G) 中的度定义为 (deg_G(v) = |N_G(v)|)。如果 (deg_G(v) = |V(G)| - 1)，则称 (v) 是图 (G) 的通用顶点。

若存在双射 (f: V(G) \to V(H))，使得 ({u, v} \in E(G)) 当且仅当 ({f(u), f(v)} \in E(H))，则称图 (G) 和 (H) 是同构的，记为 (G \simeq H)。当 (V(G) \cap V(H) = \varnothing) 时，(G) 和 (H) 的不相交并 (G \cup H) 是顶点集为 (V(G) \cup V(H))，边集为 (E(G) \cup E(H)) 的图；(G) 和 (H) 的连接 (G \oplus H) 是顶点集为 (V(G) \cup V(H))，边集为 (E(G) \cup E(H) \cup { {u, v} | u \in V(G), v \in V(H)}) 的图。

对于 (A, B \subseteq V(G))，定义 (E_G(A, B) = { {u, v} \in E(G) | u \in A, v \in B})；对于 (S \subseteq V(G))，(S) 的边界边 (\theta_G(S)) 定义为 (\theta_G(S) = E_G(S, V(G) \setminus S))