11、在线延迟删除问题与偏心最短路径问题研究

在线延迟删除问题与偏心最短路径问题研究

在图论算法领域，在线节点和边删除问题以及偏心最短路径问题是重要的研究方向。下面将详细介绍这两个问题的相关研究成果。

在线延迟删除问题

不连通图的小装置构造

对于由不连通图组成的集合 $F$ 中的最大阶图 $H$，其小装置的构造方式与连通图有所不同。不连通图 $H$ 的小装置是连通图 $H$ 小装置的补图。具体构造方法是，先在任意一个顶点处粘贴 $H$ 的两个副本，然后将其他所有位置连接起来。例如，某个图可能有三种不同的小装置。在连通情况下，实例由小装置的不相交并集组成；而在不连通的“对偶”情况下，我们将小装置连接起来。这样构造的实例是小装置的连接图，每个小装置是在任意顶点处粘贴的 $H$ 的两个副本的连接。如同 Chen 等人的证明，我们可以构造 $|H|^{opt}$ 个这样的实例，为了最优处理这些实例，它们都需要不同的建议字符串，因此对于不连通的 $F$，也有 $opt \cdot \log |H|$ 的下界。

这种构造方法同样适用于延迟 $H$ - 边删除问题，并且能得到该问题建议复杂度的一个基本紧下界。

$H$ - 边删除问题

之前 Chen 等人证明了对于连通图 $H$，延迟 $H$ - 边删除问题的建议复杂度有一个下界 $opt \cdot \log |H|$，这个下界与定理 2 中的平凡上界基本匹配。现在证明，即使 $H$ 是不连通的，这个下界仍然成立。

在处理节点删除问题时，对于不连通的 $F$，我们构造的实例大量使用了连接操作。在边删除问题中，也可以使用类似的构造方法。下面的引理揭示了连接操作与不连通图的良好性质：
-