电子科技大学-《图论》-研究生课程-知识点汇总-anki卡片定义定理整理（重新排版）-503张卡片

平凡图的定义

只有一个顶点而无边



简单图的定义

没有重边的图



重边的定义

连接两个顶点间的边的数量若大于1则为重边



u和v相邻是什么意思

u和v这两个端点间有边



端点u与边e相关联是什么意思

e的一个端点是u



图的同构的概念

两个图之间的顶点集之间存在双射，存在一一对应的关系，则两图同构。



偶图
同义词
二部图
同义词


完全图的概念

这个图中的每对顶点之间都有一条边相连的简单图



完全图的记法

Kn
这是什么的记法


偶图的定义

一个图中的点集可以分为两个子集X和Y，而这个图中所有的边的两端都连接子集X和Y



完全偶图的定义

对于一个偶图，若点集X和Y之间，任意一对点都存在边，则称为完全偶图。



完全偶图的记法

Km,n
这是什么的记法


补图的概念

若存在一个图，这个图跟某个图相比点一一对应，而两个图的边正好可以组成一个完全图，则这两个图互为补图。



补图的记法

大写字母上面加一杠



顶点数
又称
阶数
又称


A与B同构
如何表示
≌
什么意思


若某个图是自补的，可以推出什么。（定理）

若该图的阶数为n，则n≡0,1（mod 4）



G的顶点的度
含义
某个顶点与之关联的边的数目，（环记计算两次）
叫做什么


δ（G）
表示什么意思
图G众顶点的最小度
用什么符号表示


Δ（G）
表示什么意思
图G众顶点的最大度
用什么符号表示


奇点
是什么意思
度为奇数的顶点
叫什么


偶点
是什么意思
度为偶数的顶点
是什么


k正则图
的概念
某个图的所有顶点的度都为k
叫做什么


d(v)
的含义
顶点v的度
如何用字母表示


完全图均是正则图？{ {c1::}}

对 错



完全偶图Kn,n均是正则图？{ {c1::}} 注意：完全偶图的两部分的点数相同。

对 错



图G的英文

graph图表



顶点V的英文

vertex顶点



边E的英文

edge边



度d的英文

degree



图论基本定理
又名
握手定理
又名


握手定理/图论基本定理的内容

一个图中所有顶点的度之和是边数的两倍。

这同时也说明了，任意一个图的度数之和为偶数

在任何图中，奇点个数都为偶数{ {c1::}}

对 错



证明：在任何图中奇点个数为偶数

由握手定理知，所有顶点度数之和为边数之和的两倍→所有顶点度数之和为偶数。 顶点由奇点和偶点组成，这些点的度加起来为偶数。 因为偶点的度加起来必为偶数，要想奇点偶点加起来之和为偶数，那奇点数量必为偶数。



证明：正则图的阶数n和度数k，这两个不会同时为奇数

因为nk为偶数（握手定理，所有图的度数之和均为偶数），所以n和k不会同时为奇数。



n(G)
表示什么
图G的点数/阶数
用符号表示


m(G)
表示什么
图G的边数
用符号表示


度序列的概念

图G的各个顶点的度构成的序列



度序列的和是多少

2m，即边数的两倍



某个非负整数序列是图的度序列的充要条件是什么

这个序列之和为偶数



可图序列的概念

若某个非负整数序列，存在一个简单图使得以它为度序列。



某个数组是可图的，是什么意思

存在一个简单图，以该数组为度序列。



若d1,d2…dn是可图序列，则可以推导出什么也是可图序列

则d2-1,d3-1…dn-1-1,dn也是可图序列



证明一个简单图的n个点的度不能互不相同

1、无孤立点时，每个点的度d满足n-1≥d≥1，因为有n个点，所以必有两个点的度相同。 2、有一个孤立点时，每个点的度满足n-2≥d≥1… 3、有两个孤立点时…



频序列的定义

对于图G有度序列d1,d2…dn，这个序列中各个数字出现的次数组成的数列叫做频序列



b1,b2,b3…bn
表示的是什么序列
频序列
的表示方法（用什么字母）


证明：图G和它的补图G补图有相同的频序列

对于图G的任意一个顶点，该点的度和对应补图该点的度之和为n-1。 则若图G的某几个点有相同的度，则这几个点在补图中它们的度也是相同的， 因为度相同的点的数量相同，由此获得的频序列也是相同的。



子图
的定义
点集：V(H)⊆V(G) 边集：E(H)⊆E(G) 图H是图E的什么



真子图
的定义
H⊆G且H≠G 即H⊂G 则H是G的什么



导出子图
的符号表示
G[V’]
表示什么意思


导出子图
的定义
V是图G的点集，V’是V的一个非空子集， 以V’为点集，两端点均在V’上的边组成边集， 这样的点集和边集组成的图是图G的
的什么


G-v
表示什么
图G删除V’中的顶点及其相关联的边后得到的子图
怎么用字母表示（V’={v}）


G[E’]
表示什么
图G的由边集E’导出的子图
如何用字母表示


G的边导出子图
是什么意思
E’是E的非空子集，以E’为边集，以E’中边的端点为顶点集组成的子图
叫什么


G-E’
表示什么
G中删除边集E’及其相关的顶点构成的子图
如何用字母表示


G-e
表示什么
图G删去边集E’及其顶点得到的子图
如何用字母表示（E’={e}）


简单图中所有不同的生成子图的数量是多少

2m



证明简单图G所有不同的生成子图的个数是2m个

边数分别为0、1、2、3…m的子图数量为： （通过排列组合公式）：C_{m}^{0}+C_{m}{1}+C_{m}^{2}+…C_{m}{m}=2m



两个图不相交
的含义
G1和G2是图G的两个子图，若G1和G2无公共顶点， 则G1与G2的关系为

图的运算

G1与G2边不重
的含义
G1和G2是图G的两个子图，若G1和G2无公共边， 则G1和G2的关系是



G1和G2是G的子图， 若两图无公共顶点，则称他们是{ {c1::不相交}}的， 若两图无公共边 ， 则称他们是{ {c2::边不重}}的。





并图
的概念
G1和G2是G的两个子图，两个子图顶点集的并集+两个子图边集的并集 获得的图
叫什么


交图
的定义
G1和G2是G的子图，两个图的顶点集的交集+两个图的边集的交集 组成的图
叫什么


G1-G2
表示什么
图G1去掉图G2中的边组成的图
用符号表示


G1+G2
表示什么
若G1与G2不相交，则G1与G2的并图
如何用符号表示


G1△G2
表示什么
对称差
怎么用符号表示


对称差的含义
图的运算
G1△G2 = (G1∪G2) -(G1∩G2) = (G1-G2)∪(G2-G1) 即两个图的并减去两个图的交。



G1-G2是图G1减去图G2的{ {c1::边}}后得到的图



注意：只减去了边！

联图
的定义
两个图G1和G2不相交，在并图G1+G2中，把G1到G2的每个顶点连接起来
叫什么图
图的运算

联图
的符号表示
G1∨G2
表示什么


积图
的表示方法
G1×G2
表示什么
图的运算

ui adj vi
表示什么
ui和vi邻接
怎么用符号表示
图的运算

正则图一定是简单图{ {c1::}}

对 错



n方体
全称
超立方体Qn
简称


n方体的定义

Q1=K2,Qn=K2×Qn-1



ω(G)
表示什么
图G的分支数量
如何用符号表示


证明：若G是非连通图，则G的补图是连通图

（哇哈）



若图G是非连通图，则图G的补图也是非连通图{ {c1::}}

错 对
定理：若G为非连通图，则其补图为连通图。


k圈的概念

长为k的圈



奇圈和偶圈的概念

圈的长度为奇数为奇圈， 否则为偶圈



3圈
又称
三角形
又称
路与图

距离的概念

连接两点中长度最短的途径的长度



d(u,v)
表示什么
点u到点v的距离
用符号表示


d(G)
表示什么
图的直径
用符号表示
路与图的连通性

图的直径的概念

在这个图中所有的两两点之间的距离中找到的最大值，称为图的直径



具有二分类性质的图是什么图

偶图



偶图与奇圈的关系（偶图判定定理）

一个图是偶图，当且仅当这个图没有奇圈



赋权图的概念

对于图中的每条边都赋一个权的图



w(e)
表示什么
边e的权
用符号表示


W§
表示什么
赋权图中路P的长
用符号表示


最短路问题是什么

在赋权图中找到某两个点之间的最短路线



邻接矩阵 和 推广邻接矩阵 分别是什么

邻接矩阵：用0和1来表示图中顶点间是否有联系 推广邻接矩阵：用数字表示图中顶点间的边的数量



图G是连通的
用矩阵语言如何表示
没有任何一种标定法，能使它的邻接矩阵化为
说明什么


标定法是什么

在一个图中给顶点标号的方法



同一个图的不同标定法得到的邻接矩阵的关系

两个矩阵相似，即存在矩阵P使得A1=P-1A2P



若矩阵A是图G的推广的邻接矩阵，则An的每行每列表示的含义是什么

得到的数字表示这两个点之间长度为n的通道的数量



关联矩阵的概念

行和列分别对应图中的点和边，若某点和某边相关联， 则该位为1，否则为0.



{ {c1::邻接矩阵}}表示点与点之间是否连通， { {c2::关联矩阵}}表示点与边之间是否有联系。





图G的特征多项式的定义

图G的邻接矩阵为A，E为单位矩阵， 则|λE-A|为特征多项式



邻接谱
简称
谱
全称


邻接谱
符号表示
Spec(G)
是什么


邻接谱的英文

Adjacency spectral



l部图的定义

将简单图的点集划分为l个部分，每个部分均非空，且内部均不连通， 则将这个图称为l部图。



偶图与l部图的关系

偶图是l=2时的l部图



对于l部图中的l，是数字越小要求越严格，还是数字越大要求越严格

数字越小要求越严格， 当l=2时为偶图，任何一个n阶图都是n部图， 若l1<l2，则l1部图一定是l2部图



Kn1,n2,…nl
表示什么
完全l部图
用符号K表示（不是用符号T）


完全l部图的含义

在l部图分成的l个部分中，每个部分之间的所有点之间均邻接



|V|表示什么

点集V中的顶点数



完全l几乎等部图 的概念

在一个l部图中，可以把这个图的点集划分分为两种， 每一种的各个点集内的点的数量都是相同的，且这两种点集中每个点集的点的数量差1.



完全l等部图 的概念

这个图中划分出的每个点集的点的数量都相同



n阶完全l几乎等部图
的符号表示
Tl,n
表示什么
图的基本概念

偶图的2部划分是唯一的{ {c1::}}

错 对<