37、图论中的分组支配与分裂图广播问题研究

图论中的分组支配与分裂图广播问题研究

1. 分组支配问题的参数化复杂度

在图论的研究中，分组支配集问题是一个重要的研究方向。对于 r - 分组支配集问题，当以 r + 树宽作为参数时，它是固定参数可处理的。然而，当考虑以 k + 树宽为参数时，情况变得复杂起来。即使将树宽替换为可能大得多的参数（路径宽 + 反馈顶点集数），并且图被限制为平面图，该问题也是 W[1] - 困难的。如果不要求图是平面的，还可以将参数中的路径宽替换为树深度。具体定理如下：
- 定理 5.4 ：在平面图中，以 k + 路径宽 + 反馈顶点集数为参数的 r - 分组支配集问题是 W[1] - 困难的。
- 定理 5.5 ：以 k + 树深度 + 反馈顶点集数为参数的 r - 分组支配集问题是 W[1] - 困难的。

不过，当以模块宽度为参数时，r - 分组支配集问题是固定参数可处理的，这由定理 5.6 给出。模块宽度作为介于双胞胎覆盖数和团宽度之间的一个参数，得到了很好的研究，并且图的模块宽度及其递归划分证书可以在线性时间内计算。

参数	r - 分组支配集问题复杂度
r + 树宽	固定参数可处理
k + 路径宽 + 反馈顶点集数（平面图）	W[1] - 困难
k +