6、磁盘图上循环击中问题的更快算法

磁盘图上循环击中问题的更快算法

在图论和算法领域，磁盘图上的循环击中问题是一个重要的研究方向。本文将详细介绍解决这些问题的高效算法，包括三角形击中集、反馈顶点集和奇数循环横截集问题。

1. 三角形击中集问题

在处理三角形击中集问题时，我们首先需要进行一些预处理操作，以简化问题的规模。

1.1 观察与清理步骤

• 核心观察 ：如果 $G’$ 是 $G$ 的一个诱导子图，且 $V(G’)$ 包含 $G$ 的一个核心 $W$ 的所有顶点，那么 $W$ 也是 $G’$ 的核心。
• 清理步骤 ：对于通过分支过程得到的每个实例 $(G, k)$，我们执行清理步骤，从 $G$ 中移除所有不与 $G$ 的任何三角形相交的顶点。具体操作如下：
  • 移除度数小于 2 的顶点。
  • 移除其邻居相互独立的顶点。
  • 每当移除一个顶点时，同时移除其相邻的边。

1.2 基于冠分解的核化

• 冠分解的定义 ：图 $G$ 的三角形冠是一个三元组 $(I, H, M)$，其中 $I$ 是 $V(G)$ 的一个子集，$H$ 是 $E(G)$ 的一个子集，$M$ 是 $G_{I,H}$ 的一个匹配，满足以下条件：
  • $I$ 中没有两个顶点包含在 $G$ 的同一个三角形中。
  • $H$ 的每条边都与 $I$ 中的某个顶点形成一个三