59、剪切波变换：原理、实现与应用

剪切波变换：原理、实现与应用

1. 离散剪切波原子的傅里叶内容

离散剪切波原子 $(h) {k,l,m}$ 的傅里叶内容支撑在一对梯形上，这些梯形沿着斜率为 $l2^{-k}$ 的直线排列，大小约为 $2^{2k} × 2^{k}$，可表示为：
$W {k,l} = { \xi = (\xi_x,\xi_y) : \xi_x \in [-2^{2k + 1}, -2^{2k - 1}] \cup [2^{2k - 1}, 2^{2k + 1}], |\frac{\xi_y}{\xi_x} - l2^{-k}| \leq 2^{-k} }$
这个离散剪切波原子系统在水平锥 $D(h)$ 上定义了一个帕塞瓦尔框架，由此可得到一个精确的再现定理。

2. 剪切波变换的数值实现

2.1 改进的实现方法

早期基于线性预测（LP）与适当剪切滤波器结合的剪切波变换实现存在显著边缘周围旁瓣效应大的问题。近期，Yi 等人提出了一种改进方法，通过分别计算垂直和水平剪切波来实现。为方便起见，新实现分别在水平和垂直区域引入以下函数对剪切波变换进行重新表述：
$W_{kl}^{(h)}(\xi) = 2^{k/2} \varphi(2^k \frac{\xi_y}{\xi_x} - l) \chi_{D^{(h)}}(\xi)$
$W_{kl}^{(v)}(\xi) = 2^{k/2} \varphi(2^k \frac{\xi_x}{\xi_y} - l) \chi_{D^{(v)}}(\xi)$
函数 $W_{kl}^{(d)}(\xi)$（$d = v$ 或 $h$）是一个窗口函数，支撑在傅里叶平面的一