58、剪切波变换及其应用

剪切波变换及其应用

1. 引言

在图像处理领域，为了更有效地处理和分析图像，各种变换方法不断涌现。剪切波变换（Shearlet Transform）就是其中一种具有独特优势的变换方法。它由Guo、Labate及其同事提出，灵感来源于复合小波理论，利用了多维笛卡尔坐标系中的几何仿射变换，如平移和伸缩等操作。

2. 剪切波变换与其他变换的比较

• 与轮廓波变换的关系 ：轮廓波可以看作是曲波的滤波器组实现，通过 imrec = pdfbrec( coeffs, pfilter, dfilter ); 可以从轮廓波系数中重建原始图像。这里仅展示了使用轮廓波进行去噪的结果图像。
• 与曲波变换的比较 ：
  • 相似性 ：和曲波变换类似，剪切波变换提供了一个Parseval（归一化紧）框架，在不同尺度、位置和方向上具有良好的局部化函数。当将二维函数投影到这个系统中时，与沿$C^2$分段光滑曲线出现的不连续性相对应的稀疏显著系数可用于最优逼近二维函数，克服了经典二维小波变换在表示具有不连续性的二维函数时需要更多系数的问题。
  • 优势 ：
    • 连续剪切波变换可以直接在直角坐标系中使用仿射变换定义，避免了使用极坐标（如曲波变换）以及从极坐标到直角坐标的复杂数值转换。
    • 剪切波变换在区分不同类型的角点（连接点）方面表现更好，可用于将角点与规则边缘点分离。此外，它在数学上与群论方