6、信号处理与机器学习理论入门

信号处理与机器学习理论入门

1. 数字滤波器基础

在信号处理中，滤波器起着至关重要的作用，常见的有FIR（有限脉冲响应）滤波器和IIR（无限脉冲响应）滤波器。

1.1 FIR和IIR滤波器的表示

FIR和IIR滤波器的传递函数可以用一种明确显示极点位置的形式重写。对于IIR滤波器，其传递函数可表示为：
[H(z) = H_0\frac{\prod_{l=0}^{M}(1 - z^{-1}z_l)}{\prod_{i=0}^{N}(1 - z^{-1}p_i)} = H_0z^{N - M}\frac{\prod_{l=0}^{M}(z - z_l)}{\prod_{i=0}^{N}(z - p_i)}]
其中，(z_l) 是零点，(p_i) 是极点，(H_0) 是增益常数。

1.2 IIR滤波器的设计方法

IIR滤波器通常采用成熟的模拟滤波器近似方法进行设计，如巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）和椭圆（elliptic）方法。设计过程一般是先得到原型模拟传递函数，然后使用合适的变换方法将其转换为数字传递函数。最常用的变换方法是双线性变换和脉冲不变法。

1.3 数字滤波器的结构与实现

FIR和IIR滤波器可以通过三种基本运算符实现：加法器、乘法器和延迟器（用 (z^{-1}) 表示）。
- 线性相位FIR滤波器 ：具有对称或反对称的脉冲响应，在实现时可以利用这种对称性来减少乘法器的数量。例如，奇数阶线性相位FIR滤波器结构在设计时可以优化乘法器的使用。
- IIR滤