27、门数最小的可逆电路

门数最小的可逆电路

在可逆电路的研究中，寻找能够实现最小电路的更好综合算法至关重要，而这需要合适的测试来评估这些算法的质量。然而，目前可证明的最小成本基准测试方案较少。近年来，已经开发出能够为四变量可逆函数合成门数最小电路的工具，但对于变量数大于 4 的函数，找到的最优电路非常少，且大多是短电路，并且除了使用穷举计算外，尚未有关于单个可逆电路最小性的证明发表。

1. 基本定义

• (n, p) 布尔函数 ：对于正整数 n 和 p（p ≤ n），映射 F : {0, 1}ⁿ → {0, 1}ᵖ 称为 (n, p) 布尔函数。由 F(x) = (f₁(x), f₂(x), …, fₚ(x)) 定义的布尔函数 f₁, f₂, …, fₚ 称为 F 的坐标函数，其中 x = (x₁, x₂, …, xₙ)。
• 真值表 ：由 ((f₁(v₀), f₁(v₁), …, f₁(v₂ⁿ⁻¹)), …, (fₚ(v₀), fₚ(v₁), …, fₚ(v₂ⁿ⁻¹))) 定义的 2ⁿ 行 p 列的二进制数组称为 (n, p) 布尔函数 F 的真值表，其中 v₀ = (0, …, 0, 0), v₁ = (0, …, 0, 1), …, v₂ⁿ⁻¹ = (1, …, 1, 1) 是按字典序排列的 {0, 1}ⁿ 中的所有向量。
• 平衡函数 ：如果 (n, p) 函数 F 的真值表中每个属于 {0, 1}ᵖ 的向量都出现 2ⁿ⁻ᵖ 次，则称 F 为平衡函数，否则为不平衡函数。需要注意的是，所有 (n, 1) 坐标函数都平衡的 (n, p) 布尔函数不一定是平衡