26、可逆电路复杂度框架与最小门数电路研究

可逆电路复杂度框架与最小门数电路研究

1. 可逆电路基础与布尔函数类

在可逆电路研究中，有给定的初始变量值，如 (x_1 = 0)，(y_1 = 1)，(x_2 = 1)，(y_2 = 1)，(x_3 = 0)，(y_3 = 1) 等。不同的 Toffoli 门级联可形成可逆电路，图中注释值展示了给定输入赋值下门的计算过程。

过去发现了多种布尔函数类，这些函数类对于复杂度分析十分便利，因为针对特定函数类可能得到良好的复杂度结果，进而影响实际应用。然而，几乎没有为多输出函数定义的函数类，但可以使用特征函数构造将多输出函数转换为布尔函数。

对于多输出函数 (f = (f_1, \ldots, f_m)) ，其特征函数 (\chi_f \in B_{n+m}) 定义为：
(\chi_f(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m) = \prod_{i=1}^{m} (y_i \oplus f_i(x_1, \ldots, x_n)))

下面介绍几类布尔函数：
- 自对偶函数 ：若函数 (f \in B_n) 满足 (f(x_1, \ldots, x_n) = f(\overline{x_1}, \ldots, \overline{x_n})) ，则称其为自对偶函数。可以证明，可逆函数 (f) 的特征函数 (\chi_f \in B_{2n}) 不是自对偶的。假设 (F = \chi_f) ，若 (F) 是自对偶函数，则它必须是平衡的，即 (|on(F)| = |off(F)|) 。由于 (|on(F)| = 2^n) ，只有当 (n = 1) 时 (F) 才可能平衡，此时有两个单变