3、分数行为分析领域的更新建议与初始值问题探讨

分数行为分析领域的更新建议与初始值问题探讨

在分数行为分析领域，传统的分数（积分和微分）算子以及分数阶模型存在一些弊端。这些弊端主要源于定义中使用的核的奇异性，以及所考虑的分数算子的双无限维度，这使得分数模型也具有双无限维度。由于其可以用扩散方程描述且定义在无限域上，导致了无限记忆特性以及极点在无限域上的分布，进而产生了一系列问题。为了解决这些问题，提出了新的核和新的模型。

具有空间可变系数的偏微分方程（扩散方程）

从观察可知，Oustaloup推广（Manabe引入）的用于创建幂律行为的电气网络参数的递归性（更确切地说是几何分布），只是无限可能分布中的一个特例。研究表明，系数空间可变的扩散方程能够产生幂律行为。虽然系数需要适当选择，但存在无限种可能的组合。并且，这些结果还可以推广到扩散方程之外的其他偏微分方程。这对于在分形环境中对现象进行建模具有重要意义，有助于将几何形状与方程的空间可变系数联系起来。

解决传统分数算子和模型弊端的方法

为解决传统分数算子和模型的弊端，提出了两种不同的方法：
- 新的核 ：用于定义算子和分数模型。这些新核基于不涉及拉普拉斯变量分数幂（sν）的传递函数，能够消除上述的无限记忆问题。它们可用于第一类Volterra型方程，定义出比通常的分数模型更通用的一类模型。
- 能够捕捉幂律行为的新模型 ：除了使用新核定义的模型外，其他类型的模型，如非线性模型、分布式时间延迟模型或具有空间可变系数的偏微分方程，也可用于捕捉幂律行为。

分数模型定义中初始值问题的探讨

在分数模型的定义中，初始值问题是一个