3、分数行为分析领域的更新建议与初值问题探讨

分数行为分析领域的更新建议与初值问题探讨

在分数行为分析领域，传统的分数（积分和微分）算子及分数阶模型存在一些弊端。这些弊端主要源于定义中使用的核的奇异性，以及分数算子的双无限维度，这使得分数模型也具有双无限维度。由于其可以用扩散方程描述且定义在无限域上，导致了无限记忆特性，即极点分布在无限域上，这就要求在初始化时必须考虑所有的过去信息。

空间可变系数的偏微分方程（扩散方程）

从观察可知，Oustaloup推广（Manabe引入）的用于创建幂律行为的电气网络参数的递归性（更确切地说是几何分布），只是无限可能分布中的一个特例。研究表明，系数空间可变的扩散方程能够产生幂律行为。系数需要适当选择，但存在无限种组合。并且，这些结果还可以推广到扩散方程之外的其他偏微分方程。这对于在分形环境中建模现象具有重要意义，有助于将几何与方程的空间可变系数联系起来。

解决传统模型弊端的方法

为了解决传统分数算子和模型的弊端，提出了两种不同的方法：
- 新的核 ：用于定义算子和分数模型。这些新核基于不涉及拉普拉斯变量分数幂（$s^ν$）的传递函数，能够消除上述的无限记忆问题。新核可用于第一类Volterra型方程，定义出比通常分数模型更通用的一类模型。
- 能够捕捉幂律行为的新模型 ：除了基于新核的模型，其他类型的模型，如非线性模型、分布式时间延迟模型或空间可变系数的偏微分方程，也可用于捕捉幂律行为。

分数模型定义中初始条件的问题

在许多文献中，分数模型常使用Caputo定义。Caputo定义备受赞誉，因为它使得可以定义与模型中函数的整数阶导