2、分数行为分析领域的新进展：非奇异核与模型创新

分数行为分析领域的新进展：非奇异核与模型创新

在分数导数和积分定义中，核的奇异性问题引发了诸多关注。一些作者提出基于非奇异核的定义，尽管这并非首次对分数导数和积分算子进行修改，但这些提议引发了强烈反应。有人指责这些新定义会导致算子不再具有分数性、无法捕捉某些系统的动态行为以及带来限制。然而，这些指责是基于类似Caputo定义的初始条件，错误地考虑了模型的过去。实际上，这可能是消除先前缺点的有效途径。

非奇异核的提出

为解决分数行为分析中的问题，提出了几种非奇异核，可用于幂律型长记忆行为建模。对于给定函数 $f(t)$，通过以下关系可获得类似积分的幂律行为：
[
\int_{0}^{t} f(z) \eta_{\nu}^{k}(t - z) dz, \quad k \in {1, 2, 3, 4}
]
使用以下关系可获得类似导数的幂律行为：
[
\frac{d}{dt} \int_{0}^{t} f(z) \eta_{\nu}^{k}(t - z) dz \quad 或 \quad \int_{0}^{t} \frac{df(z)}{dz} \eta_{\nu}^{k}(t - z) dz, \quad k \in {1, 2, 3, 4}
]

各类核的介绍

1. 核 $\eta_{\nu}^{1}(t)$

   • 定义为：
     [
     \eta_{\nu}^{1}(t) = \sum_{i = 1}^{6} \left(\sum_{k = 1}^{N} F_{i,k}(t) \right)