2、分数行为分析领域的新进展：非奇异核与替代模型

分数行为分析领域的新进展：非奇异核与替代模型

在分数阶导数和积分的定义中，核的奇异性带来了诸多问题。为此，一些学者提出了基于非奇异核的定义，虽然这并非首次对分数阶导数和积分算子进行修改，但相关研究引发了不同反应，甚至遭到指责，比如被认为定义的算子不再是分数阶的、无法捕捉某些系统的动态行为以及导致限制等。然而，这些指责是基于错误的模型初始条件定义，实际上，使用非奇异核是消除先前缺点的一种途径。

新型非奇异核

为解决分数阶导数和积分定义中核的奇异性问题，提出了几种非奇异核，这些核可用于幂律型长记忆行为建模。对于给定函数 (f(t)) 和后续定义的每个核 (\eta_{\nu}^{k}(t))，可通过以下关系获得类似积分的幂律行为：
[
\int_{0}^{t} f(z) \eta_{\nu}^{k}(t - z) dz, \quad k \in {1, 2, 3, 4}
]
而类似导数的幂律行为可通过以下关系获得：
[
\frac{d}{dt} \int_{0}^{t} f(z) \eta_{\nu}^{k}(t - z) dz \quad \text{或} \quad \int_{0}^{t} \frac{df(z)}{dz} \eta_{\nu}^{k}(t - z) dz, \quad k \in {1, 2, 3, 4}
]

核 (\eta_{\nu}^{1}(t))

考虑如下形式的核：
[
\eta_{\nu}^{1}(t) = \sum_{i = 1}^{6} \left( \sum_{k = 1}^{N} F_{i,k}(t) \right), \quad