16、最小转换成本树形图与程序逻辑错误定位技术

最小转换成本树形图与程序逻辑错误定位技术

最小转换成本树形图相关研究

在图论与优化领域，最小转换成本树形图（MinCCA）问题是一个重要的研究方向。下面将详细介绍该问题的相关理论、算法及实验结果。

1. 基础理论

• 最小贡献值计算 ：对于弧 $e = (i, j)$，若其为最优解的一部分，定义 $p_e$ 为其对目标函数的最小可能贡献，计算公式为 $p_e = p(i,j) = \min_{f\in\delta^{-}(i)} d_{c(f),c(e)}$。计算 $p_e$ 的时间复杂度为 $O(n)$ 或 $O(d_i)$，其中 $d_i$ 是顶点 $i$ 的入度。当收集完所有弧 $e \in A$ 的 $p_e$ 值后，可在 $O(m + n \log n)$ 时间内解决以 $p_e$ 为弧成本、根节点 $r = 1$ 的最小成本树形图问题。该问题最优解的成本为 MinCCA 最优值提供了下界，而该解的转换成本则给出了上界。
• 更强的线性化 ：基本线性化的连续松弛所提供的下界较为宽松。通过应用一些技术可获得更强的线性化。例如，将形如 $a^T x \leq b$ 的约束两边乘以变量 $x_i$，对于 ${0, 1}$ 变量，有 $x_i^2 = x_i$，约束变为 $\sum_{j\neq i} a_jx_jx_i \leq (b - a_i)x_i$，再利用现有 $z_{ij}$ 变量（必要时引入缺失变量）得到线性化版本 $\sum_{j\neq i} a_jz_{ij} \leq (b - a_i)x_i$。此技术应用于约束 (2) 时无法得到更强的松弛，但应