【AI概念】特征向量（Eigenvector）与特征值（Eigenvalue）是什麽？他们有什么区别？各自在机器学习中担任什么样的角色？| 求解方法、具体例子、几何动画与代码直观演示、实际工程应用场合

大家好，我是爱酱。相信很多同学在学习机器学习是都会听过这两个词。上网找资料的时候会发现一大堆数学概念、矩阵（Matrix）计算等，看得一头雾水。本篇将系统讲解特征向量（Eigenvector）与特征值（Eigenvalue）的定义、直观理解、数学推导、案例流程和应用场景。内容适合初学者和进阶读者，分步解释，配合公式、具体例子及仔细的流程分析，让大家真正了解这两个重要的概念。

注：本文章含大量数学算式、详细例子说明及大量代码演示，大量干货，建议先收藏再慢慢观看理解。新频道发展不易，你们的每个赞、收藏跟转发都是我继续分享的动力！

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一、特征向量与特征值的基本定义

1. 概念引入

在机器学习、数据分析、物理等领域，经常会遇到“特征值分解”、“主成分分析（PCA）”以及“线性判别分析（LDA）”等概念，而特征向量（Eigenvector）和特征值（Eigenvalue）正是这些方法的核心基础。

爱酱之前也做过深入介绍线性判别分析（LDA）的文章，有兴趣的同学可以前去观看一下。
传送门：
【AI深究】线性判别分析（LDA）全网最详细全流程详解与案例（附大量Python代码演示）|数学原理、案例流程、代码演示及结果解读|LDA与PCA的区别、实际业务中应用、正则化与扩展、多类别决策边界-优快云博客

2. 数学定义

这部分会是比较空泛一点的概念，看不懂也不要放弃，相信打后有例子支持就会更好理解！

给定一个的方阵，如果存在非零向量（Non-zero Vectors）和标量（Scalar），使得：

则称为矩阵的特征向量（Eigenvector），为对应的特征值（Eigenvalue）。

• ：方阵（可以是对称矩阵、协方差矩阵等）

• ：非零向量（特征向量）

• ：标量（特征值）

3. 直观理解

• 特征向量是被矩阵作用后方向不变的向量（只会被拉长或缩短）。

• 特征值描述了被拉长或缩短的比例。

举例：如果是一个线性变换（如旋转、缩放），那么特征向量在变换后仍然指向原来的方向，只是长度变为倍。

4. 超简易例子说明

场景设定

假设有一个二维（2D）的线性变换（Linear Transformation）（比如一个2×2矩阵），它把平面上的所有点拉伸、缩放或旋转。

线性变换（Linear Trans