- 首先我们了解一些概念。
- 递推式:代入fn−1或/与fn−2之类的数列前几项,可以求出fn的式子。
- 通项公式:代入n就可以求出
fn 的式子。
- 下面请上我们的老朋友:
- fn+2=fn+1+fn
- 这个递推式是不是很眼熟?斐波那契数列。
- 如果我们要求数列第n项应该怎么做?
- 弱鸡(我):暴力递推
- 稍微有趣:矩阵乘法+快速幂(具体做法可以参考我的这篇文章)
- 更加牛逼:用通项公式。
- 从数列推出通项公式,就需要我们今天讲的内容:特征方程。
- 从数列推出通项公式的要求:
- 1.已知数列的递推式
- 2.已知数列的任意两项
- 举个栗子:
- 现在我们知道有一个数列的递推式为
an+2=5an+1−6an ,且知道a1=3,a2=8,需要求出它的通项公式。 - 将递推式中an+p替换为xp后得到的方程,即为特征方程。
- an+2=5an+1−6an >> x2=5x−6
- an+2 >> x2
- 5an+1 >> 5x
- −6an >> −6
- 解特征方程,得x1=2,x2=3
- 将特征方程的两个根分别作为一个等比数列fn=an−1的a也就是比值,我们可以得到两个等比数列:
fn=2n−1 - gn=3n−1
- 这里有一个性质,数列fn与gn满足递推式时,数列k1fn+k2gn同样满足递推式。数列加法就是每项相加。
- 于是因为k1fn+k2gn满足递推式an+2=5an+1−6an,我们可以得到式子an=k12n−1+k23n−1。
- 所以我们可以得到一个方程组:
- n=1时为a1=k1+k2
- n=2时为a2=2k1+3k2
- 又因为我们知道a1=3,a2=8,所以代入得方程组
- 3=k1+k2
- 8=2k1+3k2
- 解方程组,得k1=1,k2=2
- 代入回原式子an=k12n−1+k23n−1
- 得an=2n−1+2⋅3n−1
- 此即为递推式为an+2=5an+1−6an的数列的通项公式。
能不能简洁一点?