复变函数与积分变换 第一章——复数与复变函数

参考教程：

https://www.bilibili.com/video/BV1hV411v7KB?spm_id_from=333.788.videopod.episodes&vd_source=8f8a7bd7765d52551c498d7eaed8acd5

一、复数及复变函数的概念与复数代数运算

1、复数及复变函数的概念

（1）复数是一种数学概念，可表示为。

①x被称为复数的实部，它是复数的实数部分，可记为。

②y被称为复数的虚部，它是复数中伴随虚数单位i的系数（同样为实数），可记为。

③虚数单位i与实数的关系为。

④有时虚数单位也用j表示。

（2）复变函数是自变量为复数的函数。

2、复数及其代数运算

（1）关于复数的几个概念：

（2）任意两个复数之间不能比较大小（或者说不能直接比较大小），不过如果两个复数的实部和虚部均相等，则可认为两个复数相等，反之同样成立。

（3）复数的代数运算：

①加法与减法：两个复数的实部与虚部分别相加即可。

②乘法：按照多项式乘法法则计算即可。

③除法：根据平方差公式将分母有理化，然后按照多项式乘法法则计算即可。

（4）共轭复数的性质：

①代数运算的性质：

②对一个复数连续取两次共轭，结果为它本身，即，证明如下：

③一个复数与其共轭复数相乘，结果为复数的模平方，证明如下：

④一个复数与其共轭复数相加，结果实部为原本的两倍，虚部为0，而一个复数与其共轭复数相减，结果实部为0，虚部为原本的两倍，证明如下：

3、例题

二、复数的几何意义

1、复数的其它表示方法

（1）复数可借助复平面表示，复平面的横轴为复数的实部（实轴），纵轴为复数的虚部（虚轴），如下图所示。

（2）辐角：

2、复数的表示方法

（1）几何表示法：

（2）向量表示法：

（3）三角表示法：

（4）指数表示法（极坐标表示法）：

3、例题

三、复数的乘幂与方根

1、乘积与商

（1）乘法：

（2）除法：

（3）旋转因子：

2、幂与根

（1）z的n次幂：

（2）z的n次方根：

3、例题

四、区域

1、区域的概念

（1）邻域：

（2）内点：

（3）开集：

        一个集合内的每一个点都是其内点，称该集合为开集（可认为其边界上的点不属于集合中的点）

（4）连通集：

        集合G内任意两点之间随意连线，总能有至少一条连线上的点都在集合G内，则称集合G为连通集，如下图所示，集合G为连通集，集合S为非连通集

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（5）区域：

        连通的开集称为区域

（6）边界点：

（7）闭区域：

        区域与边界的合集称为闭区域，其中边界可能是曲线，也可能是孤立点

2、连通域

（1）简单闭曲线：

（2）光滑曲线：

（3）单连通域：

若属于区域G的任何简单闭曲线C的内部也属于G，则称G为单连通域，从几何上看，单连通域是一个无洞无割痕、由单个连通集组成的点集

属于单连通域的简单闭曲线在域内可以变形收缩成一个点

3、例题

五、复变函数介绍

1、复变函数的定义

（1）设G是复平面内的一个点集，如果存在一个确定的法则，对于G中的每一个复数，都有一个或者几个复数与之对应，则称复变数w是复变数z的函数，记作。

①单值：一个z对应w的一个值。

②多值：一个z对应w的两个或以上的值。

（2）一个复变函数确定了自变量为x、y的两个二元实函数。

（3）由于复变函数涉及四个变量（x、y、u、v），因此不能用一个平面，也不能用三维空间中的几何图形表示复变函数，复变函数的本质是z平面上的一个点集（定义域集合）到w平面上的一个点集（值域集合）的一个映射。

2、映射

3、例题

六、复变函数的极限和连续性

1、复变函数的极限

（1）定义：

（2）几何意义：

（3）极限的计算：

①给定函数求极限：

②极限满足的运算法则：

2、复变函数的连续性

（1）定义：

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（2）衍生结论：

3、例题