【湖南集训 4.13】b

题目描述

给出一个$n\times m$的矩阵$\mathbf A$，以及一个长度为$n$的向量$\mathbf b$
定义$c_i=\sum_{j=0}^n A_{j, b_{ij \mod n }}$

问$c_i$中第$k$大的值。
$n\leq 260, 000, m\leq 4$, $n$是质数。

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分析

考虑$\mathbf A$以及$\mathbf b$是如何对$\mathbf c$作出贡献的。

$A_{j, x}b_k\xrightarrow{b_k=x}c_{kj^{-1}}$

想到这一步就十分好办了。考虑对$A$和$B$各构$4$个多项式。

$B_i=\sum_{j=0}^n x^j[b_j=i]$
$a_i=\sum_{j=0}^n A_{j, i} x^{-j}$

将这些多项式两两卷积起来，就可以得到$C$了。

这里还有一个问题就是$ij\mod n$这个东西很恶心。但是考虑$n$是个质数，搞出原根以后乘法就变成加法了。剩下的就是简单的四次FFT。注意既然用了原根，$0$的贡献就要单独拿出来算了。

时间复杂度$O( nlogn )$
空间复杂度$O( n )$