【湖南集训 4.13】c

题目描述

找到$n$维向量$\mathbf x$，最小化

$$\sum_{i=0}^m \left (b_i-\sum_{j=0}^na_{i, j}x_j\right )^2$$

$n\leq 10^3, m\leq 2\times 10^3$

开O2, 3秒时限。

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分析

多元函数的最值问题。
这里有一个比较经典的做法，首先求出需要求最值的函数对每一个变量的偏导数，然后使他们都等于$0$，解出来各变量的值是使原函数达到驻点的值。

以这道题为例，略微整理一下式子，以便于求偏导

$$f(x)=\sum_{i=0}^m \left [ \left( b_i-\sum_{j=0}^n a_{i, j}x_j \right )^2 \right ]$$

$$\frac{\partial f}{\partial x_j}=\sum_{i=0}^m 2\left( b_i-\sum_{j=0}^n a_{i, j} x_j \right )\frac{ \partial \left( b_i-\sum_{j=0}^n a_{i, j} x_j \right )}{\partial x_j}$$
$$=\sum_{i=0}^m -2a_{i, j}\left( b_i-\sum_{j=0}^n a_{i, j} x_j \right )$$

令每个$x_j$的偏导等于$0$的方程组就可以解出最优取值。
注意这道题要卡常，并行计算会快一些。

时间复杂度$O(n^2m)$
空间复杂度$O(n^2)$