【湖南集训 4.7】yist

题目描述

给出$n$个点分别到原点的距离$r_i$，问这些点可能的凸包的面积最大值。

$20\% : n=3$
$40\% : n=4$
$n\leq 8, r_i\leq 10^3$

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分析

一定要注意凸包上不一定有所有$n$个点！

$n=3$时，给出是一个三角形。
那么面积最大，当且仅当原点位处三角形的垂心。（证明？调整法）
$n=4$时，记得要判定退化成三角形的情况。
面积最大时是风筝型。（证明？调整法）

枚举凸包上点的排列后，实际上题目是要求这个

$$maximize\ \sum_{i=0}^n r_ir_{i+1}\sin \alpha_i$$
$$s.t.\ \sum_{i=0}^n \alpha_i=2\pi$$

考虑用拉格朗日乘数法。
方便起见用向量表示。

$$\mathbf{v}=( \alpha_0, \cdots, \alpha_n ), \mathbf{s}=( r_0r_1, \cdots, r_{n-1}r_n, r_nr_0 ), g(\mathbf v )=\sum_{i=0}^n v_i$$

$$L(\mathbf v, g(\mathbf v ))=\mathbf s\cdot \mathbf v + \lambda g(\mathbf v )=0$$
$$\frac{\partial L}{\partial \alpha_i}=s_i\cos\alpha_i+\lambda=0 \Leftrightarrow \alpha_i=\arccos (-\frac{\lambda}{s_i})$$
$$\sum_{i=0}^n \alpha_i=2\pi$$

讲道理$n+1$个方程$n+1$个变量可以强解，但是这里有三角函数，比较麻烦。

考虑$\arccos(x)$有单调性

那么这里可以二分$\lambda$，从而求得满足条件，且各变量偏导皆为$0$的解即为条件最值。
（十分灵活地运用了拉格朗日乘数法）

其实拉格朗日乘数法就是多元函数求最值问题，给它套上了约束（也就是条件最值问题）。
可以发现它这样子构造出来的新方程组，恰好各分量偏导等于$0$之余，新变量的偏导等于$0$保证了约束条件的成立。因此这玩意就能求条件最值了。

时间复杂度$O( n!logm )$
空间复杂度$O( n )$

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插曲

在改题的时候第一次交T掉了，原因是因为数组开太大寻址太慢了233