jzoj 3206.【HNOI模拟题】Axonometric Projection dp+组合计数

最新推荐文章于 2020-03-25 13:31:43 发布

Amber_lylovely

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Description
让我们来考虑一个单位立方体建成的模型。这个建筑的底是一个n m的单位正方形网格。在每个正方形上面，堆着若干个（可能是0）个单位立方体。每个立方体属于其中一个立方体堆。

给出了一个建筑的左视图和正视图。请计算有多少种建筑，符合给出的左视图和正视图。答案可能很大，只要返回它除以10^9 + 9的余数即可。

Input
第一行是整数n。第二行描述了建筑的左视图。第i个数表示了由上往下看时第i行最高的立方体堆的高度。第三行是整数m。第四行描述了建筑的正视图。第i个数表示了由上往下看时第i列最高的立方体堆的高度。

Output
仅一个数，表示答案。

Sample Input
2
1 1
2
1 1

Sample Output
7

Data Constraint
对于10%的数据，1<= n,m <= 5。
对于30%的数据，1 <= n,m <=10。
对于60%的数据，1 <= n,m <= 25。
对于100%的数据，1 <= n,m <= 50，所有出现的数不超过10^4。

分析：
题目可以看成有一个 $n * m$ 的网格图，第 $i$ 行的最大值为 $a_i$ ，第 $i$ 列的最大值为 $b_i$ 的方案数。
显然交换两个行的限制 $a_i$ 和 $a_j$ ，方案数不变；列同理。
我们对 $a_i$ 和 $b_i$ 排序。
网格图中 $c_{i,j}$ 取值显然是 $0,min(a_i,b_j)]$ 。
我们举一个例子，设 $a={2,2,3}$ ， $b={1,2,3}$ ，那么
$c=(122122123)c=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1& 2& 3 \end{pmatrix}$
我们发现，对于同一个数字，会组成一个 $L$ 型，或者是退化的 $L$ 型。
每一个 $L$ 型之间相互独立，答案就是他们各自方案的积。

我们把这个 $L$ 型补成一个大矩形减一个小矩形的方式。设小矩形长宽为 $(n, m)$ ， $L$ 型靠近边界两边为 $(x, y)$ ，大矩形表示为 $(x + n, y + m)$ ，我们使用四元组 $(x, y, n, m)$ 表示一个 $L$ 型。

对于上面的例子， $2$ 的第 $1$ 行、第二行和第二列需要至少有一个 $2$ （上限）。
统计答案可以这样算，用总的方案减去一行没有上限的方案，再减去两行没有上限的方案……

对于计算一个 $(x, y, n, m)$ 的 $L$ 型的答案，设上限为 $h$ ， $f [i] [j]$ 表示 $(i, j, n, m)$ 的 $L$ 型的答案，那么
$f[i][j]=(h+1)(i+n)∗(j+m)−n∗m−∑a=0i∑b=0jf[a][b]∗(ia)∗(jb)∗h(i+n)∗(j+m)−(a+n)∗(b+m)f[i][j]=(h+1)^{(i+n)*(j+m)-n*m}-\sum_{a=0}^{i}\sum_{b=0}^{j}f[a][b]*\binom{i}{a}*\binom{j}{b}*h^{(i+n)*(j+m)-(a+n)*(b+m)}$
后面表示把一部分强行钦定在 $[0, h - 1]$ 范围内。
可以预处理次方。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long

const int maxp=1e4+7;
const int maxn=107;
const LL mod=1e9+9;

using namespace std;

int n,m,x,cn,cm,maxa,maxb;
int a[maxp],b[maxp];
LL f[maxn][maxn],C[maxn][maxn],p[maxn*maxn],ans;

LL power(LL x,LL y)
{
	if (y==0) return 1;
	if (y==1) return x;
	LL c=power(x,y/2);
	c=(c*c)%mod;
	if (y&1) c=(c*x)%mod;
	return c;
}

LL dp(int h,int x,int y,int n,int m)
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	f[0][0]=1;
	for (int i=0;i<=x;i++)
	{
		for (int j=0;j<=y;j++)
		{
			LL d;
			d=(i+n)*(j+m)-n*m;
			f[i][j]=power(h,d);
			for (int a=0;a<=i;a++)
			{
				for (int b=0;b<=j;b++)
				{
					if ((a==i) && (b==j)) continue;
					d=(i+n)*(j+m)-(a+n)*(b+m);
					f[i][j]=(f[i][j]+mod-f[a][b]*C[i][a]%mod*C[j][b]%mod*p[d]%mod)%mod;
				}
			}
		}
	}
	return f[x][y];
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		a[x]++;
		maxa=max(maxa,x);
	}
	scanf("%d",&m);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		b[x]++;
		maxb=max(maxb,x);
	}
	if (maxa!=maxb)
	{
		printf("0\n");
		return 0;
	}	
	C[0][0]=1;
	for (int i=1;i<=50;i++)
	{
		C[i][0]=1;
		for (int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
	}
	cn=cm=0;
	ans=1;
	for (int i=1e4;i>=0;i--)
	{
		if ((!a[i]) && (!b[i])) continue;
		p[0]=1;
		for (int j=1;j<=n*m;j++) p[j]=(p[j-1]*(LL)i)%mod;
		ans=(ans*dp(i+1,a[i],b[i],cn,cm))%mod;
		cn+=a[i],cm+=b[i];
	}
	printf("%lld\n",ans);
}