HNOI模拟4.7 yist

本文探讨了在给定点集条件下寻找凸包最大面积的方法。通过枚举凸包上的点及顺序,利用极角差θi进行调整,最终通过二分查找确定最优解。文章详细解释了数学推导过程,并提供了暴力求解方案。

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题目大意

你需要找到N个点,每个点离原点的距离分别为R1,R2,,Rn,问N个点形成的凸包的最大面积是多少?

数据范围

N8

题解

我们可以先枚举最终凸包上是哪些点,以及这些点的顺序,那么现在的问题相当于要确定一些角度θi,表示极角序相邻两个点的极角差,满足ni=1θi=2π,θi0,使得ni=1RiRimodn+1sin(θi)最大。
题解说是什么通过调整可得在最优解下会有
R1R2sin(θ1)=R2R3sin(θ2)==RNR1sin(θN),不太懂怎么调整,反正我是暴力搞的。

前置知识

sin(x)=cos(x),cos(x)=sin(x),sin(2πθ)=sin(θ)

暴力推导

我们现在相当于要最大化
ni=1RiRimodn+1sin(θi)
因为有θ1+θ2++θn=2π,那么有θn=2πθ1+θ2++θn1
不妨令θi为主元,i为任意1n1的整数,那么对这个函数求导,则有
RiRi+1cos(θi)RnR1cos(θ1+θ2++θn1)=0
RiRi+1cos(θi)=RnR1cos(θn)
以此类推,就得到了上面那条式子了。

那么剩下的事情就非常简单了,现在相当于我们要求出一个最小的λ=R1R2cos(θ1)==RNR1cos(θN),使得θ1+θ2++θN=2π,这个直接二分就可以了。

时间复杂度是O(n!2nlogAns)

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