HNOI模拟4.7 yist_【hnoi2016模拟4.4】alphadog-优快云博客

本文探讨了在给定点集条件下寻找凸包最大面积的方法。通过枚举凸包上的点及顺序，利用极角差θi进行调整，最终通过二分查找确定最优解。文章详细解释了数学推导过程，并提供了暴力求解方案。

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题目大意

你需要找到 $N$ 个点，每个点离原点的距离分别为 $R_1,R_2,\cdots,R_n$ ，问 $N$ 个点形成的凸包的最大面积是多少？

数据范围

$N \leq 8$

题解

我们可以先枚举最终凸包上是哪些点，以及这些点的顺序，那么现在的问题相当于要确定一些角度 $\theta_{i}$ ，表示极角序相邻两个点的极角差，满足 $\sum_{i=1}^n \theta_{i} = 2 * \pi,\theta_{i} \geq 0$ ，使得 $\sum_{i=1}^n R_i * R_{i \bmod n + 1} * sin(\theta_{i})$ 最大。
题解说是什么通过调整可得在最优解下会有
$R_1R_2sin(\theta_{1})=R_2R_3sin(\theta_{2})=\cdots=R_NR_1sin(\theta_{N})$ ，不太懂怎么调整，反正我是暴力搞的。

前置知识

$sin'(x) = cos(x),cos'(x) = -sin(x),sin(2*\pi-\theta) = -sin(\theta)$

暴力推导

我们现在相当于要最大化
$\sum_{i=1}^n R_i * R_{i \bmod n + 1} * sin(\theta_{i})$
因为有 $\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots+\theta_{n} = 2 * \pi$ ，那么有 $\theta_{n} = 2 * \pi - \theta_{1} + \theta_{2} + \cdots + \theta_{n-1}$
不妨令 $\theta_{i}$ 为主元， $i$ 为任意 $1$ 到 $n-1$ 的整数，那么对这个函数求导，则有
$R_{i} * R_{i+1}*cos(\theta_{i}) - R_{n}*R_{1}*cos(\theta_{1}+\theta_{2} + \cdots + \theta_{n-1}) = 0$
$R_{i} * R_{i+1}*cos(\theta_{i}) = R_{n}*R_{1}*cos(\theta_{n})$
以此类推，就得到了上面那条式子了。

那么剩下的事情就非常简单了，现在相当于我们要求出一个最小的 $\lambda = R_1*R_2*cos(\theta_{1}) = \cdots = R_N * R_{1} * cos(\theta_{N})$ ，使得 $\theta_{1}+\theta_{2} + \cdots + \theta_{N} = 2 * \pi$ ，这个直接二分就可以了。