【湖南集训 4.4】Alphadog

题目描述

给定一个字符串$S$，要求对于每个$y\in [0, n)$，求如下的式子

$$\sum_{x\leq y} LCP(x, y)$$
dan’s
其中LCP是满足以下条件的串$T$的长度

• $T$是一个回文串
  • 存在$i\leq x$，满足$S_{ i..x }=T$
  • 存在$j\leq y$，满足$S_{ j, y }=T$

  $n\leq 10^5$，强制在线

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  分析

  考虑建出回文树，不难分析出来，求的是和前面出现的所有接受态的LCA代表的回文串的长度和。
  那么这里LCA的长度和不好算，考虑往下走一条边就会使得代表回文串的长度+2。
  那么LCA的长度就可以转化为两点间距离的问题。

  但是这里需要动态插点，于是就有两种不同的思路。

  动态点分治

  考虑用替罪羊树的思路来实现对点剖树的维护。具体实现也很简单，主要是这里每次加入的是一个叶子。那么我们每次沿路上溯找到最高的一个不平衡点，进行重构就可以了。
  这里重构也很简单，把done标记去掉，然后重新调用一遍build就可以了。
  这里仅仅是维护动态点分治是瓶颈的$O( nlog^2n )$

  然后询问与所有点之间的距离和就是点剖的简单应用了。

  空间复杂度$O( n )$

  二进制分组+虚树

  考虑用二进制分组来维护这个动态加点的东西，维护一个栈，当栈顶俩元素的关键点数相同的时候就提出来，将两者放在一起暴力重构重新塞入栈中即可。

  搞出虚树以后，考虑如何算这个到所有点的距离和。
  实际上维护三个东西就好，大概就是

  • 虚树上某个点到其他点的距离和
  • 虚树上某个点到子树中关键点的距离和
  • 子数中有多少个关键点

  每次询问$O( log^2n)$，维护二进制分组共$O( nlog^2n )$

  时间复杂度$O( nlog^2n )$
  空间复杂度$O( n )$