【湖南集训3.30】sanrd

本文介绍了一种将特定无向图通过图的乘积分解为两个子图的方法。核心思路在于逐步将原图分解为两个完全相同的子图,并确保它们之间的连接遵循特定规则。通过选择度数最小的节点来优化分解过程。

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题目描述

给出一个n个点m条边的无向图H

定义图AB的乘积A×B是一个无向图G,其点集V={(x,y)|xA,yB},边集E={((u,v),(u,v))|u=uvv=2kv=vuu=2k(k0)}

要求你把H分解为C×D,其中D的点数为2p(从0开始编号),D中两个点间有连边,当且仅当两个点的标号的异或值是2的幂。

n,m105


分析

实际上这个题把题面要求的东西读懂了,就很好做。

其实D=(01)k,也就是只有0,1两个点时得到的图的若干次幂。
考虑乘上一个(01)代表了什么,实际上代表把原图复制一份,对应点之间连边。
那么对应的,我们每次尝试把图H分解成两个完全相同的图,而且两个图存在的连边只能是一一对应的点。
我们假如枚举了一条层间边,其他的层间边也可以被马上确定。
那么应该要枚举哪条层间边呢?考虑枚举度数最小的点,它的度数不会超过n,因此,每次选取度数最小的点进行枚举,O(n)判断可行性,找到某种可行方案时向下递归就好了。

考虑时间复杂度,Tn=2Tn2+nn
于是总的时间复杂度是O(nnlogn)

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