【CH 0102】64 位整数乘法

最新推荐文章于 2024-02-15 17:13:37 发布

Heilzenith

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本文介绍两种高效计算大数乘法并对特定数值取模的方法。算法一采用快速乘法，通过分解乘数并逐步取模降低计算复杂度；算法二则利用长双精度浮点数处理大数乘法过程中的精度问题，确保结果准确。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

求 $a$ 乘 $b$ 对 $p$ 取模的值，其中 $1≤a,b,p≤10^{18}$ 。

算法分析

【算法一】快速乘
仿照矩阵快速幂， $b=c_0\times2^0+c_1\times2^1+...+c_k\times2^k$ ，将 $a\times b$ 拆成 $a\times c_0\times2^0+a\times c_1\times2^1+...+a\times c_k\times2^k$ ，分步取模即可，时间复杂度 $O(log_2b)$ 。
【算法二】利用 $a\times b\mod p=a\times b-\lfloor\frac{a\times b}{p}\rfloor\times p$
使用 long double 储存 $\lfloor\frac{a\times b}{p}\rfloor$ 的值，因为 long double 的有效精度为 $18～19$ 位，精度不满足的时候会自动舍去低位（类比科学计数法），保留了较高的位，再除以 $p$ 就能保证精度在我们要求的范围内。
然后利用整数运算自动舍去高位，保留低位，而 $a\times b$ 与 $\lfloor\frac{a\times b}{p}\rfloor\times p$ 的差在低位的范围之内，所以可以用 long long int 保存，注意自动舍去低位后 $a\times b$ 的值可能小于 $\lfloor\frac{a\times b}{p}\rfloor\times p$ ，因此还需要对结果进行一些额外的处理。

代码实现

【算法一】

#include <cstdio>
typedef unsigned long long int ll;
ll p;
ll mul(ll a,ll b) {
    ll ans=0;
    while(b) {
        if(b&1) ans=(ans+a)%p;
        a=(a+a)%p;b>>=1;
    }
    return ans%p;
}
int main() {
    ll a,b;
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);
    printf("%lld\n",mul(a,b));
    return 0;
}

【算法二】

#include <cstdio>
typedef long long int ll;
ll mul(ll a,ll b,ll p) {
    a%=p;b%=p;
    ll c=(long double)a*b/p;
    ll ans=a*b-c*p;
    if(ans<0) ans+=p;
    else if(ans>=p) ans-=p;
    return ans;
}
int main() {
    ll a,b,p;
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);
    printf("%lld\n",mul(a,b,p));
    return 0;
}