题目描述
给定一个长度为 nn 的序列 ,要求构造一个单调不上升或单调不下降的序列 BB 使得 的值最小,输出这个最小值。1≤n≤20001≤n≤2000。
算法分析
首先可以证明,数列 BB 中的数一定在数列 中出现过,所以将数列 BB 的可能取值 排序后使用动态规划求解(单调不上升求解一次,单调不下降求解一次)。
以单调不下降为例,定义 f[i][j]f[i][j] 为数列 BB 第 个数为 cjcj 时,∑ik=1|ak−bk|∑k=1i|ak−bk| 的最小值,状态转移方程为:
f[i][j]=min1≤k≤jf[i−1][k]+|cj−ai|f[i][j]=min1≤k≤jf[i−1][k]+|cj−ai|
注意到 min1≤k≤jf[i−1][k]min1≤k≤jf[i−1][k] 可以单独维护,时间复杂度降为 O(n2)O(n2)。
代码实现
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <climits>
#include <algorithm>
const int maxn=2005;
int n,a[maxn],b[maxn],f[maxn][maxn];
inline bool cmp(const int &x,const int &y) {return x>y;}
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i) {
scanf("%d",&a[i]);
b[i]=a[i];
}
std::sort(b+1,b+n+1);
for(int i=1;i<=n;++i) {
int temp=INT_MAX;
for(int j=1;j<=n;++j) {
temp=std::min(temp,f[i-1][j]);
f[i][j]=temp+abs(b[j]-a[i]);
}
}
int ans=INT_MAX;
for(int i=1;i<=n;++i) ans=std::min(ans,f[n][i]);
std::sort(b+1,b+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;++i) {
int temp=INT_MAX;
for(int j=1;j<=n;++j) {
temp=std::min(temp,f[i-1][j]);
f[i][j]=temp+abs(b[j]-a[i]);
}
}
for(int i=1;i<=n;++i) ans=std::min(ans,f[n][i]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}