【POJ 3666】Making the Grade

针对给定序列,构造一个单调序列使元素差绝对值之和最小。通过动态规划求解,先排序序列值,再计算两种单调性情况下的最小值。

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题目描述

给定一个长度为 nn 的序列 A,要求构造一个单调不上升或单调不下降的序列 BB 使得 i=1n|aibi| 的值最小,输出这个最小值。1n20001≤n≤2000

算法分析

首先可以证明,数列 BB 中的数一定在数列 A 中出现过,所以将数列 BB 的可能取值 C 排序后使用动态规划求解(单调不上升求解一次,单调不下降求解一次)。

以单调不下降为例,定义 f[i][j]f[i][j] 为数列 BBi 个数为 cjcj 时,ik=1|akbk|∑k=1i|ak−bk| 的最小值,状态转移方程为:

f[i][j]=min1kjf[i1][k]+|cjai|f[i][j]=min1≤k≤jf[i−1][k]+|cj−ai|

注意到 min1kjf[i1][k]min1≤k≤jf[i−1][k] 可以单独维护,时间复杂度降为 O(n2)O(n2)

代码实现

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <climits>
#include <algorithm>
const int maxn=2005;
int n,a[maxn],b[maxn],f[maxn][maxn];
inline bool cmp(const int &x,const int &y) {return x>y;}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        scanf("%d",&a[i]);
        b[i]=a[i];
    }
    std::sort(b+1,b+n+1);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        int temp=INT_MAX;
        for(int j=1;j<=n;++j) {
            temp=std::min(temp,f[i-1][j]);
            f[i][j]=temp+abs(b[j]-a[i]);
        }
    }
    int ans=INT_MAX;
    for(int i=1;i<=n;++i) ans=std::min(ans,f[n][i]);
    std::sort(b+1,b+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        int temp=INT_MAX;
        for(int j=1;j<=n;++j) {
            temp=std::min(temp,f[i-1][j]);
            f[i][j]=temp+abs(b[j]-a[i]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) ans=std::min(ans,f[n][i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
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