【POJ 3666】Making the Grade

最新推荐文章于 2022-05-09 16:57:25 发布

Heilzenith

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分类专栏：题解文章标签： ACAG 动态规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/WHZ2018/article/details/81461438

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针对给定序列，构造一个单调序列使元素差绝对值之和最小。通过动态规划求解，先排序序列值，再计算两种单调性情况下的最小值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的序列 $A$ ，要求构造一个单调不上升或单调不下降的序列 $B$ 使得 $\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|$ 的值最小，输出这个最小值。 $1≤n≤2000$ 。

算法分析

首先可以证明，数列 $B$ 中的数一定在数列 $A$ 中出现过，所以将数列 $B$ 的可能取值 $C$ 排序后使用动态规划求解（单调不上升求解一次，单调不下降求解一次）。

以单调不下降为例，定义 $f[i][j]$ 为数列 $B$ 第 $i$ 个数为 $c_j$ 时， $\sum_{k=1}^i|a_k-b_k|$ 的最小值，状态转移方程为：

f [i] [j] = m i n 1 \leq k \leq j f [i - 1] [k] + | c j - a i |

$f[i][j]=min_{1≤k≤j}f[i-1][k]+|c_j-a_i|$

注意到 $min_{1≤k≤j}f[i-1][k]$ 可以单独维护，时间复杂度降为 $O(n^2)$ 。

代码实现

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <climits>
#include <algorithm>
const int maxn=2005;
int n,a[maxn],b[maxn],f[maxn][maxn];
inline bool cmp(const int &x,const int &y) {return x>y;}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        scanf("%d",&a[i]);
        b[i]=a[i];
    }
    std::sort(b+1,b+n+1);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        int temp=INT_MAX;
        for(int j=1;j<=n;++j) {
            temp=std::min(temp,f[i-1][j]);
            f[i][j]=temp+abs(b[j]-a[i]);
        }
    }
    int ans=INT_MAX;
    for(int i=1;i<=n;++i) ans=std::min(ans,f[n][i]);
    std::sort(b+1,b+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        int temp=INT_MAX;
        for(int j=1;j<=n;++j) {
            temp=std::min(temp,f[i-1][j]);
            f[i][j]=temp+abs(b[j]-a[i]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) ans=std::min(ans,f[n][i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}