64位整数乘法[CH0102]

最新推荐文章于 2022-01-14 21:52:21 发布

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本文介绍了一种高效的大数乘法和模运算算法，适用于处理非常大的数值（如10^18级别的整数）。通过快速幂变形和二进制表示，将大数乘法分解为更小的操作，同时利用模运算保持结果在合理范围内，避免了溢出问题。文章提供了两种实现方法，包括直接利用long long类型溢出特性和优化的模运算算法。

题目:求 $a∗bmod  pa*b\mod p$ 的值，其中 $1$ ≤ $a$ , $b$ , $p$ ≤ $10^{18}$
方法一
$快速幂变形，将 b 用二进制表示，即$ $b=c_{k-1}2^{k-1}$ + $c_{k-1}2^{k-2}$ + $. . .$ + $c_{0}2^{0}$
则 $a*b=c_{k-1}2^{k-1}*a$ + $c_{k-1}2^{k-2}*a$ + $. . .$ + $c_{0}2^{0}*a$
$a*2^{k}=(a*2^{k-1})*2$ ;
$∴只要观察到ck=1,则ans=ans∗amod  p∴只要观察到c_{k}=1,则ans=ans*a\mod p$
$每一次位移，都要a=a∗amod  p每一次位移，都要a=a*a\mod p$
代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll mul(ll a,ll b,ll p)
{
	a%=p;ll ans=0;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=(ans+a)%p;
		b>>=1;a=(a<<1)%p;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ll a,b,c;scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
	printf("%lld\n",mul(a,b,c));
	return 0;
}

方法二
用longlong自然溢出
代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll mul(ll a,ll b,ll p)
{
	a%=p,b%=p;
	ll c=(long double)a*b/p;//向下取整
	ll ans=(a*b-c*p+p)%p;
	return ans;
}
int main()
{
	ll a,b,p;scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);
	printf("%lld\n",mul(a,b,p));
	return 0;
}