费马小定理求组合数

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本文探讨如何利用费马小定理解决组合数学中的组合数计算问题，通过实例解析定理的应用，帮助读者理解其在组合计算中的作用。 
#include"iostream"
using namespace std;
const int MOD=999101;
long long f(int n)
{
    long long ans=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        ans*=i;
        ans%=MOD;
    }
    return ans;
}
long long ksm(long long a,long long b,<
最低0.47元/天 解锁文章
组合数取模（费马小定理）
SPIDER的博客
11-18 588
费马小定理：      （p为质数）  我们由此可以推出： （m是质数） 所以a在mod m 意义下的逆元等价于a^m-2，这样我们就会求一个数的逆元了。 注意：费马小定理只能在a,m互质时使用! 这里我们会想可不可以直接带公式求解呢？ 因为涉及到除法的取模，所以要用到逆元求解，自然想到使用费马小定理来求一个数的逆元 思路  这样我们就可以快速的求出组合数取模后的结...
【算法模板】数论：费马小定理求组合数
2303_80346267的博客
08-03 751
费马小定理可以用来计算模逆元，即给定一个整数 a，可以通过计算 a^(p−2)mod p 来得到 a 在模 p 下的逆元（前提是 p 是质数）。：使用费马小定理计算并存储所有从 0 到 n 的阶乘逆元 invFact[i]=(i!)−1mod  p。：计算并存储所有从 0 到 n 的阶乘值 fact[i]=i!给定一个多项式 (by+ax)，请求出多项式展开后 x。
求组合数（费马小定理）
帅气廖鹏飞
05-04 888
#include"iostream" using namespace std; const int maxn=1e3+5; const int MOD=1e9+7; int inv[maxn];//阶乘的逆元 int fac[maxn];//阶乘 long long ksm(long long a,long long b,long long mod) { long long res=1,b...
组合数-取模 费马小定理
ccsu_deer
08-22 655
由于博客有些公式打不出来，下面是博客园的链接 逆元---组合数取模 https://www.cnblogs.com/liziran/p/6804803.html 逆元组合数取模的应用是，当数据非常大的时候，超过long long 用一般的公式 就会爆范围， 所以采用逆元 用C++实现的代码，输入为n,m,mod，要求0<=m<=n<=1e6（否则fac存不下...
为什么组合数取模要用逆元
weixin_30455023的博客
05-18 277
首先说明一个事实，你直接算出来一个组合数的结果直接对p取模，结果一定是对的，那么这是对一个计算结果一次取模 (但上面的前提是你使用的数据结构能存储得下取模前的结果 但如果我们要通过一个前面取过模的式子递推出其他要取模的式子，而递推式里又存在除法 那么一个很尴尬的事情出现了，假如a[i-1]=100%31=7 a[i]=(a[i-1]/2)%31 a[i]=50%31=19 ,但我们现在只知...
hdu 3037 费马小定理+逆元求组合数+Lucas定理
Jeromiewn的博客
02-01 1105
组合数学推推推最后，推得要求C（n+m，m）%p 其中n，m小于10^9,p小于1^5 用Lucas定理求（Lucas定理求nm较大时的组合数） 因为p数据较小可以直接阶乘打表求逆元 求逆元时，由费马小定理知道p为素数时，a^p-1=1modp可以写成a*a^p-2=1modp 所以a的逆元就是a^p-2, 可以求组合数C（n，m）%p中除法取模,将其转化为乘法取模 即    /(m
恶补费马小定理和组合数
wniuniu_的博客
08-12 1252
我们再来看一下下面这个题目，分析我们得知，只有我们选取的 1 的个数是大于等于 k /2 +1 的，才是有价值的。有一个易错点，我们预处理的时候，阶乘的 a[ 0 ] = 1 , 否则会出错。前言：我们平时遇到的组合数如果用杨辉三角型做的话，预处理的复杂度是。答案太大我们会进行取模，那么我们就可以利用费马小定理。所以我们可以对我们的分母乘积进行逆元操作。所以我们可以用组合数的方法进行。，遇到大一点的数据就会爆炸。但是我们的阶乘进行预处理。
AK F.*ing leetcode 流浪计划之费马小定理与组合数取模
闪电彬彬的博客
06-03 880
费马小定理与组合数取模，高阶等差数列与组合数
费马小定理证明
m0_59578053的博客
01-27 1167
定理： ∀(a,p)=1,p 为素数，则 ap−1≡1(modp) {\forall}(a,p) = 1, p\,为素数，则\,a^{p-1}\equiv1(mod p) ∀(a,p)=1,p为素数，则ap−1≡1(modp) 证明1： ==完全剩余系：==从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。完全剩余系常用于数论中存在性证明。 举例:一个数除以4的余数只能是0，1，2，3，{0，1，2，3}和{4，5，-2，11}是模4的完全剩余系。可以看出0和4，1和5，
费马小定理（附带欧拉定理）
qq_50214614的博客
05-13 366
费马小定理 对于一个质数p,任意的整数a（a不是p的倍数），都有： a^（p-1）≡1（mod p） 证明此定理，我们首先需要证明一下欧拉定理。 欧拉定理： 对于互质的两个数a和n,有： 我们设n的简化剩余系（ 本 质是比 n 小且与 n 互质的数）为：b1,b2,b3…bφ(n)。 这里，我们会用到反证法：假设i ! = j,a * b[i] ≡ a * b[j] (mod n) , 因为a与n互质，所以：b[i]≡b[j] (mod n)。但是，我们知道，b[i]显然不与b[j]在模n的情况下同余。所
HDU - 4704 Sum 【组合数 + 费马小定理】
nobleman
04-24 479
Sum Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others) Total Submission(s): 4036 Accepted Submission(s): 1647 Problem Description Sample Input 2 Sample Ou...
求组合数-费马小定理
blue_kid的博客
07-02 693
//快速幂 LL powermod(LL a,LL n) { if(a==0) return 1; LL ret=1,res=a; while(n) { if(n&1) ret=ret*res%mod; res=res*res%mod; n>>=1; } return ret; } LL fun(LL n
CodeForces 300C Beautiful Numbers（乘法逆元/费马小定理+组合数公式+快速幂）
Noooooorth的专栏
08-18 3519
给出a和b，如果一个数每一位都是a或b，那么我们称这个数为good，在good的基础上，如果这个数的每一位之和也是good，那么这个数是excellent。求长度为n的excellent数的个数mod(1e9+7)。ps：1e9+7是一个质数。
逆元求组合数 费马小定理版
qq_40423146的博客
10-10 254
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; #define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); const int maxn=1e6+5; const ll mod=1e9+7; ll n,m,q,ans; ll cnt; ll pre[maxn]...
[费马小定理+组合数] hdu 4704
kosf_的博客
07-16 302
题目 S(k)是x1+x2+…+xk=N的组合数 (重复的组合数，即：1+2+1=4 和 1+1+2=4 属于不同的方案数) 求（S(1)+S(2)+…+S(N)）mod 10^9的个数 题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4704 思路 求解S(k): 将整数m拆分为n个数字的有序拆分方案数为C(m-1,n-1) 隔板法理解： 把N分成一份的分法数为C(0,n-1)， 把N分
组合数取模(费马小定理)
p15008340649的博客
02-01 228
假设求Cnk对mod取模的结果，可以用逆元+费马小定理来求。 公式 当mod为素数时 n/m%mod=(n*m^(mod-2))%mod 使用时，一般和快速幂结合食用。
通过费马小定理求组合数（防止越界，因为做除法之前不能够取余）
messyidea的专栏
07-24 1214
转载自：http://blog.youkuaiyun.com/xuezhongfenfei/article/details/10100651 费马小定理：a^(p-1) ≡1（mod p）a和p是互质的（p为质数）。 那么对于任意的求a^m%p则可以转换为a^(m%(p-1))%p，可以使复杂度很高的求此方的进行化简 欧拉函数上的应用就是：  a,m互质，a^φ(m)≡1(mod m)//（φ
组合数+费马大/小定理
weixin_30515513的博客
03-16 131
附上一题：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/114/B 有上面的公式2，还不能完全解决问题，这里还要用到阶乘的逆元。 我们都知道对于取模。 a*b%mod 等价于 ((a%mod)*(b%mod))%mod 但是 (a/b)%mod 与 ((a%mod)/(...
求组合数
Akatsuki
11-05 912
Akatsuki
如何用费马小定理求乘法逆元
最新发布
07-14
利用费马小定理求解模 $ p $ 下的乘法逆元，需要满足以下两个条件： - 模数 $ p $ 必须是一个质数。 - 被求逆元的整数 $ a $ 必须与 $ p $ 互质，即 $ \gcd(a, p) = 1 $。 在满足上述条件的情况下，根据费马小定理，有： $$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $$ 由此可以推导出 $ a $ 关于模 $ p $ 的乘法逆元为： $$ a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod{p} $$ ### 实现步骤 1. **快速幂运算**：由于直接计算 $ a^{p-2} $ 可能涉及非常大的指数，因此使用快速幂算法（Exponentiation by Squaring）来高效地计算幂次并对模数取余。 2. **边界情况处理**：若 $ a $ 是 $ p $ 的倍数，则 $ a \mod p = 0 $，此时不存在乘法逆元，因为任何数与 0 相乘都只能得到 0，无法得到 1。 ### C++ 示例代码 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; // 快速幂函数 LL qpow(LL a, LL b, LL p) { LL res = 1; while (b > 0) { if (b & 1) res = (res * a) % p; a = (a * a) % p; b >>= 1; } return res; } int main() { LL a, p; cin >> a >> p; // 判断是否存在逆元 if (a % p == 0) { cout << "impossible" << endl; } else { LL inv = qpow(a, p - 2, p); cout << inv << endl; } return 0; } ``` ### 应用场景 这种方法广泛应用于密码学（如 RSA 算法中的密钥生成和加密操作）、组合数学（如模意义下的除法运算）以及数论问题中。它的时间复杂度为 $ O(\log p) $，适用于大模数的情况[^4]。 ---
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