BZOJ 4017: 小Q的无敌异或【异或的和，和的异或】

于 2020-05-16 10:31:30 发布
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本文介绍了BZOJ 4017题目的解题思路，主要涉及区间异或的和与区间和的异或问题。对于第一问，通过统计每个位上0和1的个数来优化计算。第二问利用类似的方法，分类讨论第k位为1和0的情况，借助树状数组进行快速统计和单点修改。

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题目链接：

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4017
https://acm.njupt.edu.cn/problem/BZOJ4017

第一问：求所有区间异或的和

x o [ i ] xo[i] xo[i]表示前 i i i个数的异或值， s u m [ i ] sum[i] sum[i]表示前 i i i个数的和
第一问：用 c n t [ k ] [ 0 ] ， c n t [ k ] [ 1 ] cnt[k][0]，cnt[k][1] cnt[k][0]，cnt[k][1]表示第 k k k位 0 0 0的个数和 1 1 1的个数，朴素的做法是枚举 L L L和 R R R要 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
我们先枚举 R R R，如果 s u m [ R ] sum[R] sum[R]的第 k k k位是 1 1 1，要是有个 s u m [ L − 1 ] sum[L-1] sum[L−1]的第 k k k位是 0 0 0就好啦~，那我们的这个 s u m [ L   R ] sum[L~R]

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【bzoj4017】小Q的无敌异或 树状数组
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按位考虑 第一个问题，一堆0和1，求所有区间的异或的和 从前往后枚举，记录当前有多少个0，多少个1，随便一算就可以 第二个问题，一堆0和1，求所有区间的和的异或 所有大于第i位的部分我们都可以省略，于是等价于把每个数%2^(i+1) 从前往后枚举，如果两个数的差模意义下大于等于2^i，则第i位为1，于是写一个权值线段树或者离散化+树状数组即可，酸爽 虽然看上去挺简单，但还是调了很久
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对于第一问求所有区间异或和的和，将二进制位拆位考虑，对于每一位，就是求有多少个区间这一位有奇数个1，这个东西可以dp[i][0/1]表示i为右端点的区间，有偶数/奇数个1的左端点个数 对于第二问求区间和的异或和 先拆位，二进制第k位为1相当于和在Mod 2k+1Mod\ 2^{k+1}下>=2k>=2^k 一种做法是用∑ri=la[i]=sum[r]−sum[l−1]\sum_{i=l}^r
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一般和抑或相关的求和都是一位一位来的。这题也一样。        首先看第一问。令sum[i]=a[1]^a[2]^...^a[i]，那么xor(l,r)=sum[l-1]^sum[r]，考虑每一位对答案带来的影响。假设现在考虑二进制第k位（从低到高）对答案的影响。        对于sum[x]，它的第k位对答案的影响为2^k*t，其中t为1..x-1中sum[]值二进制第k位与sum[x]
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