组合数取模（费马小定理）

最新推荐文章于 2025-02-20 22:29:29 发布
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费马小定理：   

 

（p为质数） 

我们由此可以推出：

（m是质数）

所以a在mod m 意义下的逆元等价于a^m-2，这样我们就会求一个数的逆元了。

注意：费马小定理只能在a,m互质时使用!

这里我们会想可不可以直接带公式求解呢？

因为涉及到除法的取模，所以要用到逆元求解，自然想到使用费马小定理来求一个数的逆元

思路 

这样我们就可以快速的求出组合数取模后的结果了

题目链接：组合数取模

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组合数取模
CrazyForsaken的博客
03-23 470
对于组合数取模的问题，这里给出几种做法。 Cmn(modp)Cnm(modp)C^{m}_{n} (mod p) 对于 n, m 较小的时候，可以使用杨辉三角强行解。 当 n, m 较大的时候，且 p 是素数的时候可以用 Lucas定理。 Lucas定理： 若 n=nkpk+nk−1pk−1+...+n1p+n0n=nkpk+nk−1pk−1+...+n1p+n0n=n_kp^...
AK F.*ing leetcode 流浪计划之费马小定理与组合数取模
闪电彬彬的博客
06-03 815
费马小定理与组合数取模，高阶等差数列与组合数
组合数-取模 费马小定理
ccsu_deer
08-22 551
由于博客有些公式打不出来，下面是博客园的链接 逆元---组合数取模 https://www.cnblogs.com/liziran/p/6804803.html 逆元组合数取模的应用是，当数据非常大的时候，超过long long 用一般的公式 就会爆范围， 所以采用逆元 用C++实现的代码，输入为n,m,mod，要求0<=m<=n<=1e6（否则fac存不下...
求组合数-费马小定理
blue_kid的博客
07-02 676
//快速幂 LL powermod(LL a,LL n) { if(a==0) return 1; LL ret=1,res=a; while(n) { if(n&1) ret=ret*res%mod; res=res*res%mod; n>>=1; } return ret; } LL fun(LL n
组合数取模及Lucas定理
as7223979的博客
08-26 436
引入： 组合数C(m,n)表示在m个不同的元素中取出n个元素（不要求有序），产生的方案数。定义式：C(m,n)=m!/(n!*(m-n)!)（并不会使用LaTex QAQ）。 根据题目中对组合数的需要，有不同的计算方法。 （1）在模k的意义下求出C(i,j)(1≤j≤i≤n)共n2（数量级）个组合数： 运用一个数学上的组合恒等式（OI中称之为杨辉三角）：C(m,n)=C(m-1...
恶补费马小定理和组合数
wniuniu_的博客
08-12 1163
我们再来看一下下面这个题目，分析我们得知，只有我们选取的 1 的个数是大于等于 k /2 +1 的，才是有价值的。有一个易错点，我们预处理的时候，阶乘的 a[ 0 ] = 1 , 否则会出错。前言：我们平时遇到的组合数如果用杨辉三角型做的话，预处理的复杂度是。答案太大我们会进行取模，那么我们就可以利用费马小定理。所以我们可以对我们的分母乘积进行逆元操作。所以我们可以用组合数的方法进行。，遇到大一点的数据就会爆炸。但是我们的阶乘进行预处理。
组合数取模方法总结（Lucas定理介绍）
Daioo 随笔
04-06 308
正文 1.当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求。 C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)； 2、n和m较大，但是p为素数的时候 Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p，p为素数的值。 C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p 也就是Lucas(n,m)%p=Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p 求上式的时候，Lucas递归出口...
蓝桥杯数学知识全攻略：从矩阵乘法到费马小定理，一文掌握竞赛必备算法（附Java代码实现）
2301_82313520的博客
02-20 828
本文全面总结蓝桥杯竞赛中的数学知识，涵盖矩阵乘法、快速幂、费马小定理、高斯消元等核心算法，结合Java代码实现与实战例题讲解。通过详细的理论推导与优化技巧，帮助你快速掌握竞赛中的数学工具，提升解题效率，轻松应对蓝桥杯挑战！
求组合数（费马小定理）
帅气廖鹏飞
05-04 855
#include"iostream" using namespace std; const int maxn=1e3+5; const int MOD=1e9+7; int inv[maxn];//阶乘的逆元 int fac[maxn];//阶乘 long long ksm(long long a,long long b,long long mod) { long long res=1,b...
为什么组合数取模要用逆元
weixin_30455023的博客
05-18 265
首先说明一个事实，你直接算出来一个组合数的结果直接对p取模，结果一定是对的，那么这是对一个计算结果一次取模 (但上面的前提是你使用的数据结构能存储得下取模前的结果 但如果我们要通过一个前面取过模的式子递推出其他要取模的式子，而递推式里又存在除法 那么一个很尴尬的事情出现了，假如a[i-1]=100%31=7 a[i]=(a[i-1]/2)%31 a[i]=50%31=19 ,但我们现在只知...
费马定理在算法取模中的应用
MaplePlane的博客
07-14 1030
费马小定理在算法中的意义 1640 年，法国业余数学家 Pierre de Fermat （通常译作“费马”）发现，如果 n 是一个质数的话，那么对于任意一个数 a ， a 的 n 次方减去 a 之后都将是 n 的倍数。 a^n - a=k*n 费马小定理揭示了：当p是一个素数并且a和p互质(除了1无公约数)时，a^(p-1) %p≡1 a^(p-1) mod p = 1 mod p 推出分数的取...
[费马小定理+组合数] hdu 4704
kosf_的博客
07-16 293
题目 S(k)是x1+x2+…+xk=N的组合数 (重复的组合数，即：1+2+1=4 和 1+1+2=4 属于不同的方案数) 求（S(1)+S(2)+…+S(N)）mod 10^9的个数 题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4704 思路 求解S(k): 将整数m拆分为n个数字的有序拆分方案数为C(m-1,n-1) 隔板法理解： 把N分成一份的分法数为C(0,n-1)， 把N分
CodeForces 300C Beautiful Numbers（乘法逆元/费马小定理+组合数公式+快速幂）
Noooooorth的专栏
08-18 3432
给出a和b，如果一个数每一位都是a或b，那么我们称这个数为good，在good的基础上，如果这个数的每一位之和也是good，那么这个数是excellent。求长度为n的excellent数的个数mod(1e9+7)。ps：1e9+7是一个质数。
codeforces 费马小定理
最新发布
04-29
### Codeforces 上与费马小定理相关的题目及其实现 #### 费马小定理简介 费马小定理指出，如果 $p$ 是质数且 $a$ 不是 $p$ 的倍数，则有： $$ a^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod}\ p) $$ 由此可以推导出，在模 $p$ 下求逆元的方法：对于任意整数 $a$ （满足 $\gcd(a, p) = 1$），其在模 $p$ 意义下的逆元为 $a^{p-2}$。 --- #### 经典题目解析与实现 以下是几道经典的 Codeforces 题目以及它们基于费马小定理的解决方法： --- ##### **题目一：Codeforces 1380G** 该题要求计算一系列操作后的结果，并涉及大量取模运算。其中的关键在于利用费马小定理快速求解逆元[^3]。 ###### 解决方案 通过预处理阶乘及其逆元数组，可以在常数时间内完成组合数的查询。下面是完整的代码实现： ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int MAXN = 3e5 + 5; const LL MOD = 998244353; // 快速幂模板 LL qpow(LL a, LL b){ LL res = 1; while(b){ if(b & 1) res = res * a % MOD; a = a * a % MOD; b >>= 1; } return res; } LL fact[MAXN], inv_fact[MAXN]; void preprocess(){ fact[0] = 1; for(int i=1;i<MAXN;i++) fact[i] = fact[i-1]*i%MOD; inv_fact[MAXN-1] = qpow(fact[MAXN-1], MOD-2); for(int i=MAXN-2;i>=0;i--){ inv_fact[i] = inv_fact[i+1]*(i+1)%MOD; } } // 计算组合数 C(n,k) mod MOD LL comb(LL n, LL k){ if(k > n || k < 0) return 0; return fact[n] * inv_fact[k] % MOD * inv_fact[n-k] % MOD; } int main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); preprocess(); // 输入处理... } ``` 此代码片段实现了对阶乘和逆元的预处理功能，从而能够高效地支持后续的大规模组合数计算需求[^3]。 --- ##### **题目二：Advertising Agency (Codeforces Round #697 Div. 3)** 这是一道关于广告公司分配预算的问题，核心思路也是围绕着组合数展开讨论[^4]。 ###### 解决方案 由于直接计算可能会超出计算机所能表达的最大数值范围，因此采用动态规划配合费马小定理间接获取答案成为必然选择之一。下面给出了一种可行的做法： ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=2e5+5,MOD=1e9+7; long long fac[N],inv[N]; vector<int>v; long long power(long long x,long long y){ long long ret=1; while(y){ if(y&1)ret=(ret*x)%MOD; x=x*x%MOD;y>>=1; } return ret; } void precompute(){ fac[0]=fac[1]=1; for(int i=2;i<N;i++)fac[i]=(fac[i-1]*i)%MOD; inv[N-1]=power(fac[N-1],MOD-2); for(int i=N-2;i>=0;i--)inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%MOD; } long long C(int n,int r){ if(r>n||r<0)return 0; return ((fac[n]*inv[r]%MOD)*inv[n-r])%MOD; } int main(){ precompute(); int T,n,m,x,y; scanf("%d",&T); while(T--){ v.clear(); scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y); for(int i=1;i<=n;i++){ int tmp;scanf("%d",&tmp); if(tmp<=y)v.push_back(tmp); } sort(v.begin(),v.end()); long long ans=0; for(int i=v.size();i>0;i--){ if((long long)i*m>x)break; ans+=C(v.size()-i+i-1,i-1); ans%=MOD; } printf("%lld\n",ans); } } ``` 这里不仅包含了基本的幂次方函数定义，还额外加入了针对特定条件筛选有效元素列表的操作步骤。 --- #### 总结 上述两例充分体现了费马小定理在实际竞赛编程中的广泛应用价值——无论是用来加速单步除法操作还是辅助构建更大规模的数据结构模型都极为重要！ ---
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