概率论中多元随机变量函数分布中的卷积公式原来是重积分换元

重积分换元（雅克比行列式）

$\{\begin{array}{c}x=x(u,v)\\ \\ y=y(u,v)\end{array}$

$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ & \\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|$

$dxdy=d[x(u,v)]d[y(u,v)]=|J|\cdot dudv$

卷积公式

①：$Z=X+Y$
$$f_z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(z-y,y)\mathrm{d}y={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)\mathrm{d}x$$
②：$Z=X\cdot Y$
$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{|x|}f\left(x,\frac{z}{x}\right)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{|y|}f\left(\frac{z}{y},y\right)\mathrm{d}y$$
③：$Z=\frac{X}{Y}$
$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|y|f(yz,y)\mathrm{d}y$$

以前学的时候，第一个公式感觉还能理解：就跟求边缘概率密度一个意思，积分掉一个变量就只剩另外一个了，那现在有三个变量也不来头，因为三个变量之间有关系，第三个变量阔以用另外两个变量表示出来，然后再积分掉一个，就只剩下一个了
but,yet,however,nevertheless，为啥后两个公式里面还多了一坨东西喃？
直到在b站上一不小心看到这位阿婆主的视频才知道
这里是 等待崛起 这位童鞋的视频b站链接谢谢分享(๑◡๑)

在此让朕来总结一哈

①：把$x$换掉

$$\begin{gathered} F(x,y)=\iint f(x,y)dxdy, \\ 把x用x=x(y,z)换掉 \\ F[x(y,z),y]=\iint f[x(y,z),y]d[x(y,z)]dy \end{gathered}$$

然后利用雅克比行列式把换元后的微元换掉
$\{\begin{array}{c}x=x(y,z)\\ \\ y=y\end{array}$

$$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial y}& \frac{\partial x}{\partial z}\\ \frac{\partial y}{\partial y}& \frac{\partial y}{\partial z}\end{array}\right|=J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial y}& \frac{\partial x}{\partial z}\\ 1& 0\end{array}\right|=-\frac{\partial x}{\partial z},正负没关系，反正后面要加绝对值$$

因此$dxdy=|J|dydz=|-\frac{\partial x}{\partial z}|dydz$

因此$$\iint f[x(y,z),y]d[x(y,z)]dy=\iint f[x(y,z),y]|J|dydz=\int [\int f[x(y,z),y]|J|dy]dz=\int f_Z(z)dz,这里外层中括号括起来的就是z的边缘概率密度f_Z(z)$$
$$这样就得到了f_Z(z)=\int f[x(y,z),y]|J|dy$$
我们这里的$|J|=|-\frac{\partial x}{\partial z}|$，来验证一哈喃

当$Z=X+Y$时：$|-\frac{\partial x}{\partial z}|=1$
当$Z=X\cdot Y$时：$|-\frac{\partial x}{\partial z}|=|\frac{1}{y}|$
当$Z=\frac{X}{Y}$时：$|-\frac{\partial x}{\partial z}|=|y|$

对滴~(✪ω✪)

确定范围

卷积公式做

这种题就是知道上面还不行，考的就是考确定范围，就以2005年数学一的第22题作为例子吧

$$题意:f(x,y)=\{\begin{array}{c}1,0<x<1,0<y<2x\\ 0,其他\end{array},求Z=2Z-Y的概率密度f_Z(z)$$

将$x=\frac{y+z}{2}代入范围\{\begin{array}{c}0<x<1\Rightarrow 0<\frac{y+z}{2}<1\Rightarrow \{\begin{array}{c}y>-z\\ \\ y<-z+2\end{array}\\ \\ 0<y<2x\Rightarrow 0<y<y+z\Rightarrow \{\begin{array}{c}y>0\\ \\ z>0\end{array}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}y>-z\\ \\ y<-z+2\\ \\ y>0\\ \\ z>0\end{array}$

然后就相当于求z的边缘概率密度了
很明显，只有在$0<z<2$这一段在有值
我们把$y$积分掉：$$f_Z(z)={\int }_0^{-z+2}f[x(y,z),y]\cdot |J|dy={\int }_0^{-z+2}1\cdot \frac{1}{2}dy=1-\frac{z}{2}$$

定义法来做

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { 2 X − Y ≤ z } F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{2X-Y\leq z\} FZ​(z)=P{Z≤z}=P{2X−Y≤z}
也就是$y\ge 2x-z$这个区域怎么才能与第一张图上的阴影部分有交集，观察y轴截距，只有当$-2<-z<0$的时候才行

也就是算这个梯形的面积，阔以用1来减去小三角形的面积
完了还要对z求导

顺便记一哈这两个特殊的

Z=max{X,Y}

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { m a x { X , Y } ≤ z } = P { X ≤ z , Y ≤ z } = P { X ≤ z } ⋅ { Y ≤ z } = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{max\{X,Y\}\leq z\}=P\{X\leq z,Y\leq z\}=P\{X\leq z\}\cdot\{Y\leq z\}=F_X(z)\cdot F_Y(z) FZ​(z)=P{Z≤z}=P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}⋅{Y≤z}=FX​(z)⋅FY​(z)

Z=min{X,Y}

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { m i n { X , Y } ≤ z } = 1 − P { m i n { X , Y } > z } = 1 − P { X > z } ⋅ P { Y > z } = 1 − [ 1 − P { X ≤ z } ] ⋅ [ 1 − P { Y ≤ z } ] = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{min\{X,Y\}\leq z\}=1-P\{min\{X,Y\}> z\}=1-P\{X> z\}\cdot P\{Y>z\}\\ =1-[1-P\{X\leq z\}]\cdot [1-P\{Y\leq z\}]=1-[1-F_X(z)]\cdot [1-F_Y(z)] FZ​(z)=P{Z≤z}=P{min{X,Y}≤z}=1−P{min{X,Y}>z}=1−P{X>z}⋅P{Y>z}=1−[1−P{X≤z}]⋅[1−P{Y≤z}]=1−[1−FX​(z)]⋅[1−FY​(z)]