通过费马小定理求组合数（防止越界，因为做除法之前不能够取余）

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#费马小定理 #数论

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本文介绍如何利用费马小定理简化高次幂运算，并给出了一种求解大规模组合数C(n,m)的方法，避免了直接计算阶乘导致的数据溢出问题。此外，还提供了一个具体的编程实现案例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

转载自：http://blog.youkuaiyun.com/xuezhongfenfei/article/details/10100651

费马小定理：a^(p-1) ≡1（mod p）a和p是互质的（p为质数）。那么对于任意的求a^m%p则可以转换为a^(m%(p-1))%p，可以使复杂度很高的求此方的进行化简

欧拉函数上的应用就是： a,m互质，a^φ(m)≡1(mod m)//（φ(m)为欧拉函数，表示的是m之前与m互质的正整数的个数，而如果m为质数的话则m-1就为m的欧拉函数值，这又到了费马小定理）

求排列组合中的C(n,m)，如果n和m都很大，而且取得的值是要模上mod，那么如果仍然按照n!/(m!*(n-m)!)算的话肯定就会爆，如果边去摸边算的话结果就会不对，那么应该怎么算呢？

转换为n!*(m!)^(md-2)*((n-m)!^mod-2);mod-2也可以为mod的欧拉函数值-1，这里暂且设mod为质数

因为求的是n!/(m!*(n-m)!)，则可以转换为n!*(m!)^(-1)*(n-m)!^-1,

n!*m!^(-1)*(n-m)!^(-1) *m!^(mod-1) *(n-m)!^(mod-1)，因为后两项都为1，所以乘后结果不变，然后就转换为了上面的式子，这样就不用担心除法的时候因为取模的问题了！

有一道例题，hdu4869 ,第一场多校第九题。记录一下。

/***********************************************\
 |Author: Messyidea
 |Created Time: 2014-7-22 13:48:33
 |File Name: b.cpp
 |Description: 
\***********************************************/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#define L(rt) (rt<<1)
#define R(rt) (rt<<1|1)
#define mset(l,n) memset(l,n,sizeof(l))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define maxx(a) memset(a, 0x3f, sizeof(a))
#define zero(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define srep(i,n) for(int i = 1;i <= n;i ++)
#define MP make_pair
const int inf=0x3f3f3f3f ;
const double eps=1e-8 ;
const double pi=acos (-1.0);
typedef long long ll;
#define mod 1000000009
#define LL long long 
using namespace std;
int n,m;
ll f[100005];
LL extend_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    LL gcd=extend_gcd(b,a%b,x,y);
    LL t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*x;
    return gcd;
}
LL Get_Inverse(LL num)
{
    LL x,y;
    extend_gcd(num,mod,x,y);
    return (x%mod+mod)%mod;
}
LL Combine(LL n,LL m)//计算组合数C(n,m)
{
    LL t1=1,t2=1;
    for(LL i=n;i>m;i--)
    {
        t1=(t1*i)%mod;
        t2=(t2*(i-m))%mod;
    }
    return t1*Get_Inverse(t2)%mod;
}

void pre(){
    int i;
    f[0] = 1;
    for(int i=1;i<100005;++i){
        f[i] = (f[i-1]*i)%mod;
    }
}

int ma[100005];
int da[100005];
int l,r;
ll quickmod(ll x,ll y){
    ll res = 1;
    while(y>0){
        if(y&1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
void solve(){
    l = r = m;
    int num = 0;
    int p;
    if(m % 2 == 0) {
        p = 0;
    } else {
        p = 1;
    }
    rep(i,n){
        int tl = l,tr = r;
        if(ma[i] % 2 == 1) p = p ^ 1;
        num = 0;
        if(m - tl >= ma[i]) da[num ++] = tl + ma[i];
        if(tl >= ma[i]) da[num++] = tl - ma[i];
        if(m - tl < ma[i]){
            da[num ++] = m-(ma[i] - (m-tl));
        }
        if(tl < ma[i]) {
            da[num ++] = ma[i] - tl;
        }
        if(m - tr >= ma[i]) da[num ++] = tr + ma[i];
        if(tr >= ma[i]) da[num++] = tr - ma[i];
        if(m - tr < ma[i]){
            da[num ++] = m-(ma[i] - (m-tr));
        }
        if(tr < ma[i]) {
            da[num ++] = ma[i] - tr;
        }
        if(tr >= ma[i] && tl <= ma[i]){
            if(p == 1) da[num ++] = 1;
            else da[num ++] = 0;
        }
        if(tr + ma[i] >= m && tl + ma[i] <= m ){
            if(p == 1){
                if(m % 2 == 0) da[num++] = m-1;
                else da[num ++] = m;
            } else {
                if(m % 2 == 0) da[num ++] = m;
                else da[num ++] = m-1;
            }
        }
        sort(da,da+num);
        //rep(i,num) cout<<da[i]<<" ";cout<<endl;
        tl = da[0];tr = da[num-1];
        l = tl;r = tr;
    }
    LL ans = 0;
    ans = 0;
    LL tp = Combine(m,l);
    //cout<<l<<" "<<r<<endl;
    for(int i = l;i <= r;i += 2){
        ans += f[m]*quickmod(f[m-i],mod-2)%mod*quickmod(f[i],mod-2)%mod;
        ans %= mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
int main() {
    //freopen("input.txt","r",stdin); 
    pre();
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        rep(i,n) scanf("%d",&ma[i]);
        solve();
    }
    return 0;
}