原根与离散对数

阶：$a^l\equiv 1$ $(mod$ $m)$ 该方程$l$的最小正整数解成为$a$在模$m$意义下的阶,记为$or{d}_m(a)$

原根：设$m$是正整数，$a$是(正)整数，若$a$模$m$的阶等于$\phi (m)$，则称$a$为模$m$的一个原根。

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原根的性质

1.设$g$为模$p$下的原根，原根保证了$g^l\equiv 1$ $(mod$ $p)$该方程最小正整数解为$\phi (p)$,即$g^1,g^2...g^{\phi (p)-1}$互不同余

2.模$m$有原根的充要条件是$m=1,2,4,p,2p,p^n$，其中$p$是奇质数，$n$是任意正整数。

3.当模$m$有原根时它有$\phi (\phi (m))$个原根

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原根的求法

假定模数是$m$
首先将$\phi (m)$进行素因数分解
$\phi (m)=p_1^{c_1}\ast p_2^{c_2}\ast ...\ast p_n^{c_n}$
从$2$到$p-1$枚举，如果：$$\forall p_i,g^{\frac{\phi (p)}{p_i}}\ne 1(modp)$$
(此处不等于就是不同余于）,那么$g$就是$p$的一个原根

$Code$

void euler(int n){   //线性求欧拉函数
	phi[1]=1;
	for (register int i=2;i<=n;++i){
		if (!vis[i])	prime[++tot]=i,phi[i]=i-1,vis[i]=i;
		for (register int j=1;j<=tot;++j){
			if (prime[j]>vis[i] || prime[j]*i>n)	break;
			vis[i*prime[j]]=prime[j];
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(i%prime[j]? prime[j]-1 : prime[j]);
		}
	}
}

int PFD(int p,int *prime){    //质因数分解
	int tot=0;
	for (register int i=2;p!=1;++i){
		if (p%i==0)	prime[++tot]=i;
		while (p%i==0)	p/=i;
	}
	return tot;
}

int find_g(int p){    //求原根
	static int prime[MAXM+10];
	int tot=PFD(phi[p],prime),tmp;
	for (register int g=1;g<p;++g){
		tmp=1;
		for (register int i=1;i<=tot;++i){
			if (fastpow(g,phi[i]/prime[i],p)==1){
				tmp=0;
				break;
			}
		}
		if (tmp)	return g;
	}
	return -1;
}

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离散对数

当模$m$有原根时，设$g$为模$m$的一个原根，则当:$$g^l\equiv x(modm)$$
有：
$$In{d}_{g}x\equiv l(mod\phi (m))$$
把$In{d}_{g}x$成为底数为$g$,模$\phi (m)$时的离散对数值

离散对数的性质：（和普通对数相似）
$$In{d}_g(xy)\equiv In{d}_g(x)+In{d}_g(y)(mod\phi (m))$$
$$In{d}_g(x^y)\equiv y\ast In{d}_g(x)(mod\phi (m))$$

离散对数有什么用呢？

它可以把乘法转换成加法，所以利用它就可以将模$m$同余系下的乘法转化为模$\phi (m)$同余系下的加法问题

只要构造映射，将$x$映射到$In{d}_{g}x$即可
由原根的性质一：该映射是满的单射（一一对应）

$Code$

g=math::find_g(m);    //找原根
x=g;
for (register int i=1;i<phi[m]++i){
	ind[x]=i;    //开个桶建立映射关系
	x=x*g%m;
}