NOI Online #1 入门组 魔法

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P6190
题目大意：给定一个$n$个点$m$条边的图,你有$k$次施展魔法的机会，每次施展魔法可以让经过下一条边的权值在这一刻取负，求从$1$到$n$的最小花费

考虑动态规划,设$dp[i][j][k]$表示从$i$到$j$使用$k$次魔法的最小花费。
$$dp[i][j][k]=min(dp[i][u][k-1]+dp[u][j][1],dp[i][u][1]+dp[u][j][k-1])$$
用$floyed$求出只用$0$或$1$次魔法的最小花费
但直接循环枚举$k$最后会$T$

然后就是重点了
设$F[k]$代表由花费$k$次魔法整个图的转移矩阵
$F[K]=F[K-1]\ast F[1]$
但这个乘法不是普通的乘法，而是我们所定义的
$C=A\ast B$
$C[i][j]=min(A[i][k]+B[k][j],B[i][k]+A[k][j])$
我们发现这种运算满足结合律
证：考虑三个矩阵的乘法
$D=A\ast B\ast C$,$F=A\ast B$考虑每一个$D$中每一个元素
$D[i][j]=min(F[i][k]+C[k][j],C[i][k]+F[k][j])$

$D[i][j]=min(min(A[i][u]+B[u][k],A[u][k]+B[i][u])+C[k][j],C[i][k]+min(A[k][u]+B[u][j],B[k][u]+A[u][j]))$
而由此可得：对于任意的$D[i][j]=min(A[i][u]+B[u][k]+C[k][j]...)$
(剩下的式子就不写了)
提示：利用$min(a,b)+c=min(a+c,b+c)$
意思就是这个定义的乘法最终是A，B，C某些行列上的线性组合的最小值
结合律就得证了

就可以快速幂了

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=100,inf=1e15;
struct Matrix{
	int m,n;
	int g[MAXN+10][MAXN+10];
	inline Matrix(){m=0,n=0;}
}I;
int g[MAXN+10][MAXN+10];
Matrix operator * (const Matrix &A,const Matrix &B){
	Matrix C;
	C.m=A.m,C.n=B.n;
	for (register int i=1;i<=C.m;++i)
		for (register int j=1;j<=C.n;++j){
			C.g[i][j]=inf;
			for (register int k=1;k<=A.n;++k){
				C.g[i][j]=min(C.g[i][j],A.g[i][k]+B.g[k][j]);
				C.g[i][j]=min(C.g[i][j],B.g[i][k]+A.g[k][j]);
			}
		}
	return C;
}
inline int read();
Matrix fastpow(Matrix,int);

signed main(){
	//freopen ("std.in","r",stdin);
	//freopen ("std.out","w",stdout);
	int n,m,k;
	n=read(),m=read(),k=read();
	for (register int i=1;i<=m;++i){
		int x=read(),y=read(),z=read();
		g[x][y]=z;
	}
	for (register int i=1;i<=n;++i)
		for (register int j=1;j<=n;++j){
			if (i!=j && !g[i][j])	g[i][j]=I.g[i][j]=inf;
			else    I.g[i][j]=-g[i][j];
		}
	for (register int k=1;k<=n;++k)
		for (register int i=1;i<=n;++i)
			for (register int j=1;j<=n;++j)
				g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);
	if (!k){
		printf("%lld\n",g[1][n]);
		return 0;
	}
	I.m=n,I.n=n;
	for (register int k=1;k<=n;++k)
		for (register int i=1;i<=n;++i)
			for (register int j=1;j<=n;++j){
				I.g[i][j]=min(I.g[i][j],I.g[i][k]+g[k][j]);
				I.g[i][j]=min(I.g[i][j],g[i][k]+I.g[k][j]);
			}
	if (k>=2){
		Matrix ans=fastpow(I,k);
		printf("%lld\n",ans.g[1][n]);
	}
	else    printf("%lld\n",I.g[1][n]);
	return 0;
}

inline int read(){
	int x=0;
	char c=getchar();
	while (!isdigit(c))c=getchar();
	while (isdigit(c))x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15),c=getchar();
	return x;
}

Matrix fastpow(Matrix A,int p){
	Matrix ans=A;	--p;
	while (p){
		if (p&1)	ans=ans*A;
		A=A*A;
		p>>=1;
	}
	return ans;
}