NOI Online #1 入门组 魔法

博客介绍了如何解决一个关于图的NOI Online入门组题目,涉及到动态规划和快速幂的方法。通过定义特定的矩阵乘法规则,解决了在有限次魔法使用下从节点1到节点n的最小花费问题。文章揭示了这种运算的结合律,并利用此性质优化了算法,避免了直接循环枚举导致的时间超限。

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题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6190
题目大意:给定一个 n n n个点 m m m条边的图,你有 k k k次施展魔法的机会,每次施展魔法可以让经过下一条边的权值在这一刻取负,求从 1 1 1 n n n的最小花费

考虑动态规划,设 d p [ i ] [ j ] [ k ] dp[i][j][k] dp[i][j][k]表示从 i i i j j j使用 k k k次魔法的最小花费。
d p [ i ] [ j ] [ k ] = m i n ( d p [ i ] [ u ] [ k − 1 ] + d p [ u ] [ j ] [ 1 ] , d p [ i ] [ u ] [ 1 ] + d p [ u ] [ j ] [ k − 1 ] ) dp[i][j][k]=min(dp[i][u][k-1]+dp[u][j][1],dp[i][u][1]+dp[u][j][k-1]) dp[i][j][k]=min(dp[i][u][k1]+dp[u][j][1],dp[i][u][1]+dp[u][j][k1])
f l o y e d floyed floyed求出只用 0 0 0 1 1 1次魔法的最小花费
但直接循环枚举 k k k最后会 T T T

然后就是重点了
F [ k ] F[k] F[k]代表由花费 k k k次魔法整个图的转移矩阵
F [ K

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