【矩阵乘法】JZOJ_5223 B

最新推荐文章于 2019-08-07 21:53:42 发布

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探讨了在一个3x3矩阵中，每个格子上的机器人走N步后仍保持每个格子有机器人的方案计数问题。通过定义矩阵运算来表示机器人从一点到另一点的路径，利用矩阵乘法原理，迭代计算出N步后的所有可能路径，并最终求得所有方案数。

题意

在一个 $3 * 3$ 的矩阵里，每个格子上都有一个机器人。求每个机器人都走 $N$ 步后每个格子上都还有机器人的方案(每个格子上都有机器人)。

思路

我们可以设一个矩阵 $A$ 为方案数，其中 $A [i] [j]$ 代表从 $i$ 点走到 $j$ 点的方案数。
由于矩阵乘法是这样的：
$C[i][j]=∑k=1∼m(A[i][k]∗B[k][j])C[i][j]=\underset{k=1\sim m}{\sum}(A[i][k]*B[k][j])$
这样相当枚举了一个中间点 $k$ ，所以每乘一次相当于多走一步的方案数，根据乘法原理，这样子可以求出从 $i$ 经过 $k$ 点到 $j$ 的方案数。
乘 $N$ 次我们就可以得出这个方案数的矩阵，然后 $9!$ 判断每个机器人在走之后站的位置，累加答案。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long

const ll MOD = 1e9 + 7;
struct matrix{
	 ll a[10][10];
}f;
ll N, ans;
ll q[10];

matrix operator *(matrix &a, matrix &b) {
	matrix c;
	memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
	for (ll i = 1; i <= 9; i++)
		for (ll j = 1; j <= 9; j++)
			for (ll k = 1; k <= 9; k++)
				c.a[i][j] = (c.a[i][j] + a.a[i][k] * b.a[k][j]) % MOD;
	return c;
}

void fastPower(ll index) {
	for (ll i = 1; i <= 9; i++) 
		f.a[i][i] = 1;
	f.a[1][2] = f.a[1][4] = 1;
	f.a[2][1] = f.a[2][3] = f.a[2][5] = 1;
	f.a[3][2] = f.a[3][6] = 1;
	f.a[4][1] = f.a[4][5] = f.a[4][7] = 1;
	f.a[5][2] = f.a[5][4] = f.a[5][6] = f.a[5][8] = 1;
	f.a[6][3] = f.a[6][5] = f.a[6][9] = 1;
	f.a[7][4] = f.a[7][8] = 1;
	f.a[8][5] = f.a[8][7] = f.a[8][9] = 1;
	f.a[9][6] = f.a[9][8] = 1;
	matrix result = f;
	for (index--; index; index >>= 1) {
		if (index & 1) result = result * f;
		f = f * f;
	}
	f = result;
}

int main() {
	scanf("%lld", &N);
	fastPower(N);
	for (ll i = 1; i <= 9; i++) q[i] = i;
	do {
		ll s = 1;
		for (ll i = 1; i <= 9; i++)
			s = (s * f.a[i][q[i]]) % MOD;
		ans = (ans + s) % MOD;
	} while (std::next_permutation(q + 1, q + 10));
	printf("%lld", ans);
}