【矩阵乘法】JZOJ_2288【ZJOI2005】沼泽鳄鱼

最新推荐文章于 2019-08-20 00:19:00 发布

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本文探讨了在一个存在周期限制的图上，计算从起点到终点特定步数的路径数量的方法。通过构建矩阵表示不同周期内边的状态，并运用快速幂技巧，实现了高效的路径计数算法。

题意

给出一张图，求出从 $s$ 到 $t$ 走 $k$ 步的方案数，其中有几个周期，每个周期大小只能为2、3、4，在这个周期内，每个单位时间会有一个点不能走。

思路

去除不能走的条件就是普通的矩阵乘法，但这里有这个条件。
可见最大的周期是12，那么我们可以建12个矩阵，表示每个单位时间中边的情况，然后计算得出答案。

因为周期是循环的，我们可以把矩阵 $1$ 乘到矩阵 $12$ ，再根据题目中的 $k$ 利用快速幂加速。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>

const int p = 10000;
struct matrix {
	int a[50][50];
}ans, f[13];
int n, m, s, e, k, nfish;

matrix operator *(matrix &a, matrix &b){
    matrix c;
    memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            for (int k = 0; k < n; k++)
                c.a[i][j] = (c.a[i][j] + (long long)a.a[i][k] * b.a[k][j]) % p;
    return c;
}

void power(int b) {
	for (int i = 0; i < n; i++)
		ans.a[i][i] = 1;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) ans = ans * f[0];
		f[0] = f[0] * f[0];
	}
}

int main() {
	scanf("%d %d %d %d %d", &n, &m, &s, &e, &k);
	int x, y;
	for (; m; m--) {
		scanf("%d %d", &x, &y);
		f[0].a[x][y] = 1;
		f[0].a[y][x] = 1;
	}
	for (int i = 1; i <= 12; i++)
		f[i] = f[0];
	scanf("%d", &nfish);
	for (; nfish; nfish--) {
		scanf("%d", &x);
		for (int i = 1; i <= x; i++) {
			scanf("%d", &y);
			for (int j = i; j <= 12; j += x)
				for (int k = 0; k < n; k++)
					f[j == 1 ? 12 : j - 1].a[k][y] = 0;
		}
	}
	f[0] = f[1];
	for (int i = 2; i <= 12; i++)
		f[0] = f[0] * f[i];
	power(k / 12);
	for (int i = 1; i <= k % 12; i++)
		ans = ans * f[i];
	printf("%d\n", ans.a[s][e]);
}