【JZOJ5223】B【矩阵乘法】【DFS】

最新推荐文章于 2021-09-11 16:39:19 发布

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矩阵乘法

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本文探讨了一个3x3网格上的机器人走法计数问题，通过矩阵乘法和深度优先搜索策略，实现了对大规模步数下机器人分布状态的有效计算。特别关注了在n≤10^18条件下的算法优化。

题目大意：

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/5223
题目图片：
http://wx4.sinaimg.cn/mw690/0060lm7Tly1fy2w5kn4jbj30in0gk74z.jpg
给定一个 $3\times3$ 的网格图，一开始每个格子上都站着一个机器人。每一步机器人可以走到相邻格子或留在原地，同一个格子上可以有多个机器人。问走 $n$ 步后，有多少种走法，满足每个格子上都有机器人。答案对 $10^9+7$ 取模。

思路：

$n\leq 10^{18}$ 告诉我们什么?
$log\ n?$ 显然不可做。
$\sqrt{n}?$ 显然过不了。
$3\times 3$ 的矩阵？矩阵乘法！

设 $f [i] [j]$ 表示走 $n$ 步从格子 $i$ 到格子 $j$ 的方案数。那么很明显，中间矩阵 $a$ 就是相邻格子为 $1$ ，否则为 $0$ 。然后枚举每一个起始格子，跑一边矩阵乘法。就可以得到任意两点走 $n$ 步的方案数。
然后就 $D F S$ 每一个格子的机器人最终会走到哪一个格子。然后求 $a n s$ 即可。

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MOD=1000000007;
ll n,f[10][10],a[10][10],ans;
bool used[10];
const ll A[10][10]=
{
	{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,1,1,0,1,0,0,0,0,0},
	{0,1,1,1,0,1,0,0,0,0},
	{0,0,1,1,0,0,1,0,0,0},
	{0,1,0,0,1,1,0,1,0,0},
	{0,0,1,0,1,1,1,0,1,0},
	{0,0,0,1,0,1,1,0,0,1},
	{0,0,0,0,1,0,0,1,1,0},
	{0,0,0,0,0,1,0,1,1,1},
	{0,0,0,0,0,0,1,0,1,1}
};

void mul(int x)
{
	ll c[10];
	memset(c,0,sizeof(c));
	for (int i=1;i<=9;i++)
		for (int j=1;j<=9;j++)
			c[j]=(c[j]+(f[x][i]*a[i][j]))%MOD;
	memcpy(f[x],c,sizeof(f[x]));
}

void mulself()
{
	ll c[10][10];
	memset(c,0,sizeof(c));
	for (int i=1;i<=9;i++)
		for (int j=1;j<=9;j++)
			for (int k=1;k<=9;k++)
				c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*a[k][j])%MOD;
	memcpy(a,c,sizeof(a));
}

void ksm(ll m,int x)
{
	while (m)
	{
		if (m&1) mul(x);
		mulself();
		m>>=1;
	}
}

void dfs(int x,ll s)
{
	if (x>9)
	{
		ans=(ans+s)%MOD;
		return;
	}
	for (int i=1;i<=9;i++)
		if (!used[i])
		{
			used[i]=1;
			dfs(x+1,s*f[x][i]%MOD);
			used[i]=0;
		}
}

int main()
{
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=9;i++)
	{
		f[i][i]=1;
		memcpy(a,A,sizeof(a));
		ksm(n,i);
	}
	dfs(1,1);
	cout<<ans;
	return 0;
}