【矩阵乘法】JZOJ_4787 数格子

最新推荐文章于 2022-06-24 12:49:21 发布

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博客主要探讨用2×1的牌填满4×N的矩形方案数取模M的问题。先给出具体问题，接着介绍思路，可打表得出部分数值后代入OEIS得到递推公式，最后说明用矩阵乘法加速递推，还给出了代码。

题意

求出用 $2×12\times 1$ 的牌填满 $4×N4\times N$ 的矩形方案数% $M$ 。

思路

可以打表，得出 $1, 5, 11, 36, 95$ ，之后代入 $O E I S$ ，得出递推公式（逃
$a (n) = a (n - 1) + 5 * a (n - 2) + a (n - 3) - a (n - 4)$
矩阵乘法加速递推即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>

int n, m;
struct matrix{
    int a[5][5];
};

matrix operator *(matrix &a, matrix &b){
    matrix c;
    memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
    for (int i = 1; i <= 4; i++)
        for (int j = 1; j <= 4; j++)
            for (int k = 1; k <= 4; k++)
                c.a[i][j] = (c.a[i][j] + (long long)a.a[i][k] * b.a[k][j]) % m;
    return c;
}

void power(int b) {
    matrix A;
    memset(A.a, 0, sizeof(A.a));
    A.a[1][4] = -1;
   	A.a[2][1] = 1;
   	A.a[2][4] = 1;
    A.a[3][2] = 1;
    A.a[3][4] = 5;
    A.a[4][3] = 1;
    A.a[4][4] = 1;
	matrix r;
    r.a[1][1] = 1;
    r.a[1][2] = 5;
    r.a[1][3] = 11;
    r.a[1][4] = 36;
    for (; b; b >>= 1) {
        if (b & 1) r = r * A;
        A = A * A;
    }
    printf("%d\n", r.a[1][4]);
}

int main() {
    while (scanf("%d %d", &n, &m), n || m) {
		if (n == 1) printf("1\n");
		else if (n == 2) printf("5\n");
		else if (n == 3) printf("11\n");
		else if (n == 4) printf("36\n");
		else if (n == 5) printf("95\n");
		else power(n - 4);
    }
}