【JZOJ3085】图的计数【数论】

题目大意：

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/3085
询问有多少个$N$个点，$M$条边的有向图，从$1$号点到达$N$号点需要经过至少$N-1$条边。该有向图中可以包含重边和自环。

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思路：

首先，要满足经过$n-1$条边，其实就是把$n$个点都经过一次。
那么就将$n-1$条边先分配给$n$个点，形成一条链。

然后剩余$m-n+1$条边，我们要将它们加入链中，并且满足保证最短路不变。
考虑使用容斥原理，合法的加入方案数$=$总方案数$-$不合法的方案数。
那么我们就求出了合法的方案数。采用隔板法即可求出正确答案。
因为需要取模，采用逆元即可。

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代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll MOD=1000000007;
ll n,m,k,ans,inv;

ll fac(ll x)  //求阶乘
{
	ll ans=1;
	for (ll i=2;i<=x;i++)
		ans=ans*i%MOD;
	return ans;
}

ll power(ll x,ll M)  //快速幂
{
	ll ans=1;
	while (M)
	{
		if (M&1) ans=ans*x%MOD;
		x=x*x%MOD;
		M>>=1;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	cin>>n>>m;
	k=n*n-(n-1)*(n-2)/2;
	inv=power(fac(k-1)*fac(m-n+1)%MOD,MOD-2);  //求分母逆元
	cout<<fac(n-2)*fac(m-n+k)%MOD*inv%MOD;
	return 0;
}