多视几何 002：二次曲线和虚圆点

最新推荐文章于 2023-05-31 11:46:07 发布

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文章标签：几何学

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本文探讨了非齐次坐标下二次曲线的齐次坐标变换，展示了如何通过变换将二次曲线转化为二次型，并讨论了对偶二次曲线的概念。退化二次曲线被表示为两条直线，而对偶二次曲线则涉及直线的夹角表示。虚圆点作为一种特殊点，将两个正交方向合并到复数中，其对偶二次曲线为对角矩阵。文章还提到了摄影几何中的无穷远线和虚圆点在几何变换中的角色。

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非齐次坐标下的二次曲线 $f (x, y) = 0$
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
进行齐次坐标变换 $x=\frac{x_1}{x_3},y=\frac{x_2}{x_3}$ 得到：

$ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2+dx_1x_3+ex_2x_3+fx_3^2=0\\ 二次型：x^TCx=0，其中C是确定曲线的关键\\ (其中C为对阵矩阵C^T=C) 。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$

对偶二次曲线

1.1 以下方程表达的是，二次曲线C上一点x处的切线是Cx。
$观察形式x^TCx=0，记x^TC为l，l^Tx=0,可表达为点在线上l\\ (l^T=x^TC,l=C^Tx=Cx)\\$
1.2
所以二次曲线有两种表达方式，一是满足某二次方程的点 $x^TC_1x=0$ ，另一种是过点的切线l=Cx包络
$l^TC_2l=0,其中C_2=C_1^*$

退化的二次曲线（二次曲线退化为两条直线）

$C=lm^T+ml^T,rank(C)=2\\ 可以证明：l上的点l^Tx=0,满足x^TCx=0(m同理)$

退化的对偶

$二次曲线C^*=xy^T+yx^T,表示由一切过点x或y的直线组成\\$
1.1 相似变换保对偶二次曲线：

对于退化对偶二次曲线的相似变换
$rank(C^*)=2,H C^* H^T=C^*，保持不变$

1.2 相似变换保角度：
$由此可将两直线的夹角写成二次曲线的形式：$
$cos\theta = \frac{l_1m_1+l_2m_2}{\sqrt{(l_1^2+l_2^2)(m_1^2+m_2^2)}} \Rightarrow cos\theta = \frac{l^TC^*_\infty m}{\sqrt{(l^TC^*_\infty l)(m^TC^*_\infty m)}}$

$验证角度不变性质(相似变换)\\ l^TC^*_\infty m = l^TH^{-1}HC^*_\infty H^TH^{-T}m = l'^TC^*{'}m'$

虚圆点

$二次曲线ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2+dx_1x_3+ex_2x_3+fx_3^2=0\\ 当a=c,b=0时表示任意圆，其与(1,1,0)的交点满足x_1^2+x_2^2=0\\ 方程的解为\begin{bmatrix}1\\ \pm i\\0\end{bmatrix}，虚圆点将欧式空间中两个正交方向合并到一个复数中\\ \begin{bmatrix}1\\ \pm i\\0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\ 0 \\0\end{bmatrix}+ i\begin{bmatrix}0\\ 1 \\0\end{bmatrix}$